1 Absolyut qora jism uchun Plankning kvant formulasidan turli chastotalar diapazonida o’rinli bo’lgan Reley-Jins, Vinn, Stefan-Boltsman qonunlarini chiqaring. Yechimi

1-1. Absolyut qora jism uchun Plankning kvant formulasidan turli chastotalar diapazonida o’rinli bo’lgan Reley-Jins, Vinn, Stefan-Boltsman qonunlarini chiqaring.
Yechimi: Hajm birligiga to’g’ri keluvchi nurlanish energiyasi uchun Plankning kvant formulasini yozamiz:
(1)
Bu yerda c–yorug’lik tezligi, h, k – Plank va Boltsman doimiyliklari, –absolyut temperatura.Bu formuladan kichik chastotalar sohasida Reley-Jins qonuni, katta chastotalar sohasida esa Vinn hamda Stefan-Boltsman qonunlari kelib chiqishini isbotlaymiz.Haqiqatan,kichik chastotalarda,yani bo’lganda, (1) formuladagi eksponensial funksiya ni qatorga yoyib , bu formulaga qo’yamiz:

va natijada Reley-Jinsning mashhur qonuniga kelamiz.Vinn qonuni yuqori chastotalarda,yani bo’lganida, o’rinli bo’lgani uchun (1) da

bo’ladi va Plank formulasi

ko’rinish oladi. Bundan chastotaning ekstremal qiymatini topamiz:

yoki

Agar ekanligini hisobga olsak,

ko’rinishidagi Vinning siljish qonuni kelib chiqadi.
Shuningdek, yuqori chastotalarda Stefan-Boltsman qonunining ham (1) formuladan kelib chiqishini ko’ramiz:

Bu yerda . ( . Agar lar qiymatlarini qo’ysak, bu kattalik uchun - tajriba natijalariga ancha yaqin bo’lgan qiymatga ega bo’lamiz. Demak, Plank qonuni barcha chastotalar diapazonida nurlanish energiya zichliginining taqsimotini to’g’ri tushuntira olar ekan.
1-2. temperaturaga mos keluvchi absolyut qora jism spektrida kvant energiyasining o’rtacha qiymati hisoblansin.
Yechish: Plankning kvant formulasidan nurlanish energiyasining taqsimot funksiyasi-hajm birligidagi kvantlar sonini topamiz:

Bundan
(1)
(1) yordamida kvant energiyasining o’rtacha qiymatini hisoblaymiz:
(2)
(2) dagi integrallarni alohida-alohida hisoblaymiz.


U holda (2) dan