1 Absolyut qora jism uchun Plankning kvant formulasidan turli chastotalar diapazonida o’rinli bo’lgan Reley-Jins, Vinn, Stefan-Boltsman qonunlarini chiqaring. Yechimi

4-3. Bir o’lchamli garmonik ossilyator harakatini kvantlang.
Yechish: Bir o’lchamli garmonik ossilyator energiyasi harakat integrali hisoblanadi va u quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi:
(1)
Bu yerda ossilyatorning tebranish amplitudasi, tebranish chastotasi.(1) dan ossilyator impulsini topamiz

Bu yerda biz almashtirish o’tkazdik.Endi biz harakatni kvantlash uchun Bor-Zommerfeld kvantlash shartidan foydalanamiz:

Demak, ossilyator amplitudasi va unga bog’liq ravishda energiyasi ham kvantlangan qiymatlarni qabul qilishini ko’ramiz:

Mustaqil ishlash uchun masalalar
4-4. Markaziy-simmetrik potensial maydonda massasi bo’lgan zarra aylanma orbita bo’ylab harakat qiladi.Uning potensial energiyasi gat eng bo’lsa,kvantlash shartidan foydalanib,zarra energiyasini kvantlang.
Javob.
4-5. Asosiy holatda joylashgan vodorod atomidagi electron 12,09 eV energiyali kvant bilan uyg’otilgan bo’lsa,elektronning orbita radiusi necha marta oshadi?
Javob. 9 marta
5-1. de Broyl to’lqinlari faza tezligi va guruhiy tezlik o’rtasiga , shuningdek ( - zarraning harakat tezligi) tezliklarning o’rinli ekanligini isbotlang.
Yechish: de Broyl to’lqinlari guruhiy tezligi

ko’rinishini o’zgartiramiz. Biz ekanligini hisobga olib,
(1)
deb yoza olamiz . Bu yeda bo’lgani uchun
(2)
bo’ladi. Energiyasi va impuls o’rtasida

relyativistik bog’lanishni differensiallaymiz:
.
Bundan
(3)
Kvant energiyasi dan
(4)
(4) va (2) ni (1) ga qo’yamiz:

bu yerda -zarraning harakat tezligi.
Faza tezligi bo’lgani uchun

tenglik isbot etildi. Agar dispersiyalanovchi muhitda to’lqinlar tarqalsa, V , bo’ladi- dispersiya mavjud bo’lmaydi hamda tengligi bajariladi.
5-2. Massasi 0,14 kg bo’lgan futbol to’pi zarb bilan tepilganda 50 m/s tezlikka erishsa, bu to’p harakati bilan bog’liq bo’gan de Broyl to’lqini uzunligi baholansin. Shuningdek =50m/s tezlik bilan harakat qilayotgan elektron uchun ham shunday to’lqin uzunligi hisoblansin.
Yechish: Zarra de Broyl to’lqin uzunligi

1. 
   futbol to’pi uchun
   

1. 
   elekron uchun
   

Bulardan ko’ramizki, bir xil tezlik bilan futboll to’pi va elektron harakat qilayapti deb faraz etilganda, makrojism hisoblangan futboll to’pi uchun shunchalik kichik kattalik hisoblanar ekanki, ularning qiymatini tajribada o’lchab bo’lmaslik darajada bo’lar ekan. Elektron uchun esa tajribada osonlikcha o’lchanishi mumkin bo’lgan qiymatga ega bo’lar ekan. Demak, bu tajriba to’lqin xossasining mikrozarralaga xos xususiyat ekanligini ko’rsatadi.
5-3. Bir o’lchamli garmonik ossilyator harakatini kvantlang.
Yechish: Bir o’lchamli garmonik ossilyator energiyasi harakat integrali hisoblanadi va u quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi:
(1)
Bu yerda ossilyatorning tebranish amplitudasi, tebranish chastotasi.(1) dan ossilyator impulsini topamiz

Bu yerda biz almashtirish o’tkazdik.Endi biz harakatni kvantlash uchun Bor-Zommerfeld kvantlash shartidan foydalanamiz:

Demak, ossilyator amplitudasi va unga bog’liq ravishda energiyasi ham kvantlangan qiymatlarni qabul qilishini ko’ramiz: