1-amaliy mashg’ulot. Matritsa va ular ustida amallar. Determinantlar va ularning asosiy xossalari

5-Misol. Tenglamani yeching:
Yechish. J.:
Determinantning asosiy xossalari.
1-xossa. Determinantning satrlarini mos ustunlari bilan almashtirish hatijasida qiymati o‘zgarmaydi.
2-xossa. Determinantning biror qatoridagi barcha elementlari nolga teng bo‘lsa, uning qiymati nolga teng bo‘ladi.
3-xossa. Determinantning ikkita parrallel qatorining o`rinlarini o‘zaro almashtirish natijasida determinant qiymatining ishorasi qarama-qarshisiga o`zgaradi.
4-xossa. Determinantning ikkita parrallel qatori bir xil bo‘lsa, uning qiymati nolga teng bo‘ladi.
5-xossa. Agar determinantning biror qatori bir xil ko`paytuvchiga ega bo`lsa, bu ko`paytuvchini determinant belgisidan tashqariga chiqarish mumkin. Demak, determinantni biror songa ko`paytirish uchun uning biror qatori elementlarini shu songa ko`paytirish kifoya.
6-xossa. Determinantning ikkita parrallel qatori mos pavishda proporsional bo‘lsa, uning qiymati nolga teng bo‘ladi.
Agar determinantning biror qator elementlari yig`indilardan iborat bo`lsa, u holda bu determinant ikki determinant yig`indisiga teng bo`ladi, bunda birinchi determinantda shu qator birinchi qo`shuluvchilardan, ikkinchisida esa ikkinchi qo`shuluvchilardan tashkil topgan bo`ladi. Masalan,
.
7-xossa. Agar determinantning biror qatori elementlarini ixtiyoriy songa ko`paytirib, parallel qatori elementlariga mos ravishda qo`shilsa, determinant qiymati o`zgarmaydi.
8-xossa. Determinantning qiymati uning biror qatori elementlarini mos algebraik to`ldiruvchilariga ko`paytirilib qo`shilganiga teng.
9-xossa. Determinantning biror qatori elementlarini parallel qator mos elementlarining algebraik to`ldiruvchilariga ko’paytmalari yig`indisi nolga teng.
Masalan, .
9-xossa yordamida, (4) formuladan ko`ra umumiyroq bo`lgan, determinantni biror qatori bo`yicha yoyib hisoblash usuli hosil bo`ladi.
Masalan, uchunchi tartibli determinant uchun
, (3.1)
. (3.2)
Bu yerda (3.1) va (3.1) formulalar mos ravishda determinantning ixtiyoriy satri va ustuni bo`yicha yoyilmasi deyiladi.
Determinantning elementining minori deb, uning satri va ustunini o`chirishdan hosil bo`lgan determinantga aytiladi.
Masalan, uchunchi tartibli determinant uchun
, .
Determinantning elementining algebraik to`ldiruvchisi deb,
tenglik bilan aniqlanadigan songa aytiladi.
Masalan, uchunchi tartibli determinant uchun
, .
6-misol. determinantning minorini hisoblang.
► Determinantning satri va ustunini o`chiramiz:
. Demak, .◄
7-misol. determinantning va algebraik to`ldiruvchilarini hisoblang.
► , ya’ni bo`lgani uchun, determinantning satri va ustunini o`chiramiz:
.
yoki bo`lgani uchun, determinantning satri va ustunini o`chirib hisoblaymiz.
.
Demak, . ◄
(3.1) formulani algebraik to`lduruvchilar yordamida quyidagicha ifodalaymiz:
(3.3)


8-misol. determinantni hisoblang.
► (3.3) formulani qo`llaymiz, buning uchun avval va larni hisoblaymiz:
, ,
.
.◄
9-misol. determinantni biror qatori bo`yicha yoyib hisoblang.
► Determinantni eng ko`p nol element qatnashgan qatorini aniqlaymiz. Bu yerda uchunchi ustunda eng ko`p nol element bo`lgani uchun, (3.2) formulani qo`llaymiz:
,
chunki
.
◄