1-amaliy mashg’ulot tekislikda analitik geometriyanıng sodda masalalari

4-amaliy MASHG’ULOT
Funksiya hosilasi. hosilaning geometrik va mexanik manolari. hosilani hisoblash qoidalari. hosilalar jadvali

Misol 582. Hosilaning ta’rifidan foydalanib y=x­­² funksiya hosilasini toping.
Yechilishi.
Diferensiallash qoidalari
I. III.
II. IV.
Asosiy elementar funksiyalarning hosilalari:

1. . 2. . 3. . 4. . 5. .6. .

7. . 8 9. . 10. .11. .

12. . 13. . 14. 15. . 16. .

MURAKKAB FUNKSIYANING HOSILASI
Agar y=f(u) bo’lib u= φ(x) bo’lsa, ya’ni y funksiya x argument bilan oraliqda turgan u argument orqali bog’langan bo’lsa, y ni x ning MURAKKAB FUNKSIYASI deyiladi.
Murakkab funksiyaning hosilasi, y ning u oraliq argument bo’yicha hosilasi bilan oraliq argument u ning x bo’yicha hosilaning ko’paytmasiga teng, ya’ni yoki .
Agar y=f(u) bo’lib, u=φ(x) bo’lsa, hosilalar jadvali quyidagi ko’rinishni oladi:

1. ; 2. 3. ; 4. ; 5. ;

6. ; 7. ; 8. ; 9. ; 10. ;

11. ; 12. ; 13. 14. .

Misol 583.
Yechilishi.


OSHKORMAS FUNKSIYANING HOSILASI
F(x;y)=0 (1) tenglama o’zgaruvchilardan birortasiga nisbatan yechilmaganligi tufayli uni OSHKORMAS funksiya deyiladi.
Agar (1) funksiya y o’zgaruvchiga nisbatan y=f(x) ko’rinishda yechilgan bo’lsa, uni (1) ning OSHKOR ko’rinishi deyiladi.
Misol 584. x² + y² – a²=0 (2) oshkormas funksiya. Uni y ga nisbatan yechsak
y²=a² – x²y= , ya’ni y=- (3) va y= (4) larga ega bo’lamiz. (3) va (4) ni (2) ga qo’yilsa uni ayniyatga aylantiradi.
Har qanday oshkor ko’rinishdagi y=f(x) funksiyani y-f(x)=0 oshkormas funksiya ko’rinishida yozish mumkin.
Endi oshkormas funksiyadan hosila olishni ko’rsatamiz:
Misol 585. x²+y²-a²=0
Bunda y o’zgaruvchi x ning funksiyasi sifatida qaraladi va tenglikning ikki tomonidan x bo’yicha hosila olinadi:
2x+2y
Haqiqatan x²+y²-a²=0 funksiya yga nisbatan yechilib, undan x bo’yicha hosila olinganda ham shu natija olinadi:
.
TESKARI FUNKSIYA VA UNING HOSILASI
Bizga y=f(x) funksiya berilgan bo’lib, bu funksiya x ga nisbatan x=(y) ko’rinishda yechilgan bo’lsa, y=f(x) va x=(y) funksiyalarni o’zaro teskari funksiyalar deyiladi.
y=f(x) va x=(y) funksiyalarning grafiklari bitta egri chiziqdan iborat bo’ladi, biroq x=(y) dagi x ni y bilan, y ni x bilan almashtirilsa, har xil egri chiziqlar hosil bo’ladi.
y=f(x) va x=(y) lar uchun y(x)= tenglik to’g’ri bo’ladi.
Misol 586.
Haqiqatdan bo’ladi.
TESKARI TRIGONOMETRIK FUNKSIYANING HOSILASI

1. 
   y=arcsinx siny=sinarcsinx x=siny- 1x1; -
   

Teorema.y=arcsinx funksiyaning hosilasi ga teng.
Isboti.y=arcsinxx=sinyx_y=cosy.
Teskari funksiyaning hosilasini olish qoidasiga asosan: bo’ladi.
Biroq bo’ladi.
Misol 587. y=arcsin e^x
Yechilishi.
Teorema. y=arccosx funksiyaning hosilasi ga teng.
Isboti.
y=arccosxcosy=cosarccosxx=cosyx_y=-siny
bo’ladi.
Teorema. y=arctgx funksiyasining hosilasi bo’ladi.
Isboti. tgy=tgarctgxx=tgy;x_y=
cos²y=
Teorema. y=arcctgx funksiyaning hosilasi ga teng.
Isboti.y=arcctgxctgy=ctgarcctgxx=ctgy
bo’ladi.
YUQORI TARTIBLI HOSILALAR
y=f(x) funksiya (a;b) oraliqda defferensiallanuvchi bo’lsa, undan olingan birinchi tartibli y=f(x) hosila (a;b) oraliqda aniqlangan bo’ladi. Agar y=f(x) funksiyaning x_o nuqtadagi hosilasi mavjud bo’lsa, uni y=f(x) funksiyaning x₀ nuqtadagi ikkinchi tartibli hosilasi deyiladi va qo’yidagicha yoziladi:
y(x₀)=f(x₀)=
Shuningdek
… .
Мisol 588. Mahsulot MASHG’ULOTlab chiqarish harajati y va mahsulot hajmi x orasida bog’lanish bo’lsin. MASHG’ULOTlab chiqarish hajmi:

1. 
   5 birlik;
   
2. 
   10 birlik bo’lganda limitik harajatni aniqlang.
   

Yechilishi.

Buning iqtisodiy mazmuni quyidagicha: mahsulot MASHG’ULOTlab chiqarish hajmi 5 birlik bo’lganda, mahsulot MASHG’ULOTlab chiqarish harajati kelgusi mahsulotni MASHG’ULOTlab chiqarishga o’tishda 97,5 nitashkil etadi; MASHG’ULOTlab chiqarish hajmi 10 birlik bo’lganda esa u 90 ni tashkil etadi.
LEYBNITS FORMULASI:

Xususan: (u ^. v)=u^. v + u ^. v.
Misol 589.y=x⁶ + 3x³ – 5x² +7; y= 6x⁵ + 9x² – 10x;
y=30x⁴ + 18x; y=120x³ + 18;
y^IV=720x; y^V=720; y^VI=0;