1. Aylana va uning asosiy elementlari Aylananing uzunligini hisoblash

Aylana tenglamasi.
Tekislikda to‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasi berilganbo‘lsin. Aylana tenglamasini: 1) aylananing markazi A(a; b) nuqtada,2) aylananing radiusi R ekanligi ma’lum bo‘lganda, tuzamiz. Aylanada ixtiyoriy K nuqtani olamiz va uning koordinatalarini(x; y) deb belgilaymiz. Aylananing ta’rifiga ko‘ra, aylananing
ixtiyoriy K(x; y) nuqtasi uchun AK = R tenglik bajariladi.A va K nuqtalar orasidagi masofani ularning koordinatalariorqali ifodalasak, aylananing tenglamasiniko‘rinishda olamiz. Bu tenglikning har ikki tomonini kvadratga ko‘tarib,
aylana tenglamasini(x —a)² + (y —b)² = R ²(1) ko‘rinishda yozamiz. (1) tenglama
aylananing kanonik tenglamasi deyiladi.Agar aylananing markazi koordinatalar sistemasining boshi bilanustma-ust tushsa, (1) tenglamax ² + y ² = R ²(2) ko‘rinishni oladi.
M a s a 1 a . Agar aylana diametri AB ning uchlari koordinatalari A(–4; 2),
B(6; 8) bo‘lsa, aylana tenglamasi tuzilsin.
Y e c h i l i s h i . Kesmani teng ikkiga bo‘lish formulalaridanaylana markazining koordinatalarini topamiz: So‘ngra aylananing radiusini topamiz:
R = (6 – l) +(8 – 5) = 34.
Demak, bu holda aylana uchun (1) tenglama
(x – 1)² + (y – 5)² = 34
ko‘rinishni oladi.


TO’G’RI CHIZIKNING AYLANA BILAN KЕSISHISHI
To’g’ri chiziqiing aylana bilan kesishishi haqidagi masalani ko’raylik.
R—aylana radiusi va d—aylana markazidan to’g’ri chiziqqacha bo’lgan masofa bo’lsin. Aylana markazini koordinatalai boshi sifatida, berilgan to’g’ri chiziqqa perpendikulyar to’g’ri chiziqni esa x o’q deb olamiz .U holda aylan tenglamasi
x² + y² = R², to’g’ri chiziq tenglamasi esa x = d bo’ladi. To’g’ri chiziq bilan aylananing kesishishi uchun
x² + y² = R², x = d
ikkita chiziqli tenglama sistemasi yechimga ega bo’lishi kerak. Va aksincha: bu sistemaning har qanday yechimi to’g’ri chiziq bilan aylananing kesishish nuqtasining x, y koordinatalarini beradi Sistemaning yechimini topamiz:

yning ifodasidan sistemaning ikkita yechimi borligi ko’rinib turibdi, ya'ni R>d bo’lsa, aylana bilan to’g’ri chiziq ikkita nuqtada kesishadi.
R = d bo’lsa, sistema bitta yechimga ega Bu holda to’g’ri chiziq bilan aylana urinadi.
bo’lsa, sistema yechimga ega emas, ya'ni to’g’ri chiziq bilan aylana kesishmaydi .