1. Aylana va uning asosiy elementlari Aylananing uzunligini hisoblash

Teorema. Aylanaga ichki chizilgan burchak mos marka­ziy burchakning yarmiga teng.
Isboti. Burchakning tomonlaridan biri aylana markazidan o’tadigan xususiy holni oldin qaraymiz AOB teng yonli uchburchak, chunki uning OA va OB tomonlari radiuslar sifatida teng. Shu sababli uchburchakning A va B burchaklari teng. Bu burchaklarning yig’indisi uchburchakning O uchidagi tashqi burchagiga teng bo’lgani uchun uchburchakning B burchagi AOC burchakning yarmiga teng, shuni isbotlash talab qilingan edi.

B

B

O

C

O

A

A

C

D

B

O

D

C

A

BD yordamchi diametrni o’tkazish bilan umumiy hol qaralgan xususiy holga keltiriladi.

va

Teorema to’la isbotlandi.
Teoremadan ushbu xulosa kelib chiqadi: tomonlari aylananing A va B nuqtalaridan o’tuvchi, uchlari esa AB to’g’ri chiziqdan bir tomonda yotuvchi ichki chizilgan burchaklar teng. Xususiy holda, diametrga tiralgan burchaklar to’g’ri burchaklardir.


AYLANA VATARLARI V A KЕSUVCHILARI KЕSMALARINING PROPORSIONALLIGI
Agar aylananing AB va CD vatarlari S nuqtada kesishsa, u holda
AS • BS=CS • DS.
Oldin ASD va CSB uchburchaklar o’xshash ekanini isbotlaymiz . Yuqoridagi teoremaning xulosasiga ko’ra ichki chizilgan DCB va DAB burchaklar teng. ASD va BSC burchaklar vertikal burchaklar bo’lganligi uchun teng. Ko’rsatilgan burchaklarning tengligidan ASD va CSB uchburchaklarning o’xshashligi kelib
chiqadi.
Uchburchaklarning o’xshashligidan

proportsiya kelib chiqadi. Bundan
AS • BS = CS• DS.
Shuni isbotlash talab qilingan edi.
Agar R nuqtadan aylanani mos ravishda A, B va C, D nuqtalarda kesib o’tuvchi ikkita kesuvchi o’tkazilgan bo’lsa, u holda
AR •BR=CR •DR
A va C — kesuvchilar bilan aylananing R nuqtaga eng yaqin kesishish nuqtalari bo’lsin,RAD va RCB uchburchaklar o’xshash. Ularda R uchdagi burchak umumiy, Bva D uchlardagi burchaklar esa aylanaga ichki chizilgan burchaklar hossasiga ko’ra teng. Uchburchaklarning o’xshashligidan

proportsiya kelib chiqadi. Bundan RA • RB == RC • RD, shuni isbotlash talab qilingan edi.