1. Aylana va uning asosiy elementlari Aylananing uzunligini hisoblash

UCHBURCHAKKA ICHKI V A TASHQI CHIZILGAN
AYLANALARNING RADIUSLARI UCHUN FORMULALAR


Masala. Uchburchakka tashki chizilgan va ichki chizilgan aylanalarning (R) va (r) radiuslari uchun quyidagi formulalarni chiqaring:
,
bunda a, b, c — uchiurchakning tomonlari, S esa uning yuzi.
Ye ch i l i sh i. R uchun formula chiqaramiz. Biz bilamizki, , bunda ɑ — uchburchakning a tomoni qarshisidagi burchak.
O’ng qismning surat va maxrajini bc ga ko’paytirib hamda ekanini hisobga olib, ekanini topamiz. r uchun formula chiqaramiz. ABC uchburchakning yuzi OAB, OBC va OCA uchburchaklar yuzlarining yig’indisiga tengligidan .


3. DOIRAVA UNING YUZINI HISOBLASH
Agar figura sodda, ya'ni chekli sondagi uchburchaklarga bo’linadigan bo’lsa, u holda uning yuzi shu uchburchaklar yuzlari­ning yig’indisiga teng.Ixtiyoriy figuraning yuzi bunday aniqlanadi.
Agar berilgan figurani o’z ichiga oluvchi sodda figuralar va berilgan figuraning ichida yotuvchi sodda figuralar mavjud bo’lsa va bu sodda figuralar S dan istagancha kam farq qiluvchi yuzga ega bo’lsa, berilgan figura yuzi S ga teng bo’ladi. Bu ta’rifni doira yuzini topishga qo’llanamiz.
Tekislikning berilgan nuqtasidan berilgan masofadan katta bo’lmagan masofada yotuvchi barcha nuqtalaridan iborat figura doira deb aytiladi.Bu nuqta doiraning markazi deyiladi, berilgan masofa esa doiraning radiusi deyiladi. Doiraning chegarasi aylanadan iborat bo’lib, bu aylananing markazi va radiusi doiraning markazi va radiusidir.
Doiraning yuzi uni chegaralovchi aylana uzunligi bilan radiusi ko’paytmasining yarmiga teng.Buni isbotlaymiz.
Ikkita muntazam n burchak, ya'ni R₁ — doiraga ichki chizilgan va R₂— doiraga tashqi chizilgan n ko’pburchak chizamiz. R₁va R₂ ko’pburchaklar sodda figuralardir. R₂ ko’pburchak doirani o’z ichiga oladi.R₁ ko’pburchak esa doira ichida yotadi.
R₁ ko’pburchak uchlaridan o’tkazilgan radiuslar uni AOD uchburchakka teng bo’lgan n ta uchburchakka bo’ladi. Shu sababli
Sr₁=nS_AOD.
S_AOD =AC•OC= AC•AO•cosɑ bo’lgani uchun Sr₁ = (nAC)• AO cosɑ= cos ɑ, bunda r R₁ ko’pburchakning perimetri, R - doira radiusi. R₂ ko’pburchak yuzini ham shunga o’xshash topamiz:
S_R2=nS_BOF,S_BOF=AB•AO= 
S_R2= .
Shunday qilib, doira ichida yotuvchi R₁ ko’pburchakning yuzi:

doirani o’z ichiga oluvchi R₂ ko’pburchakning yuzi esa:
.
Yetarlicha katta n larda perimetri aylanau zunligi l dan juda ham kam farq qiladi, cosɑ burchak kichikligi tufayli birdan juda ham kam farq qiladi, shu sababli R₁va R₂
ko’pburchaklarning yuzlari dan juda kam farq qiladi. Ta'rifga binoan bu doiraning yuzi

ekanini bildiradi. Shuni isbotlash talab qilingan edi.
Doiraviy sektor deb doiraning mos markaziy burchagi ichidagi qismiga aytiladi Doiraviy sektorning yuzi

formula bo’yicha hisoblanadi, bunda R — doira radiusi, ɑ esa mos markaziy burchakning gradus o’lchovi.
Doira bilan yarim tekislikning umumiy qismi doiraviy segment deyiladi.
Yarim doiraga teng bo’lmagan segmentning yuzi

formula bo’yicha hisoblanadi, bunda ɑ - shu doiraviy segment yoyini o’z ichiga olgan markaziy burchakning gradus o’lchovi,S∆ esa uchlari doira markazi bilan tegishli sektorni chegaralovchi radiuslar ohirlaridan iborat uchburchaknnng yuzi. ɑ < 180° bo’lganda «-» ishorani, ɑ > 180° bo’lganda «+» ishorani olish kerak.