1-bob. Elementar funksiyalar funksiya funksiyaning berilish usullari. Tarif

1-misol. Funksiyaning aniqlanish sohasini va qiymatlar to‘plamini toping.

2-misol. Funksiyaning aniqlanish sohasini toping.








(Ratsional funksiyalarni aniqlanish sohasini topganda suratdagi va maxrajdagi funksiyalarning aniqlanish sohalarini kesishmasini olish kerakligini bilishi kerak).
3-misol. Berilgan chiziqlardan qaysi biri funksiyaning grafigi ekanini aniqlang.
4-misol. Berilgan chiziqlardan qaysi biri funksiyaning grafigi ekanini aniqlang.

5-misol. Funksiyaga mos grafikni aniqlang.

6-misol. Berilgan funksiyalarning qiymatlar jadvalini tuzing va grafigini chizing.

7-misol. Berilgan funksiyalarning grafiklarini chizing.

3. 
   FUNKSIYA USTIDA ARIFMETIK AMALLAR
   

Funksiyalar ustida qo‘shish (+), ayirish (–), ko‘paytirish (×), bo‘lish (÷) arifmetik amallarini bajarish mumkin.
f(x) va g(x) funksiyalarning aniqlanish sohalari mos ravishda A va B to‘plamlar bo‘lsin. Bu funksiyalarning A ∩ B to‘plamdagi yig‘indisi deb, har bir x ∈ A ∩ B elementda f(x) + g(x) qiymatni qabul qiladigan funksiyaga aytiladi. f(x) va g(x) yig‘indisi ( f + g)(x) kabi belgilanadi. Demak,
( f + g)(x) = f (x) + g(x).
Xuddi shuningdek, f(x) va g(x) funksiyalarning ayirmasi, ko‘paytmasi, bo‘linmasini aniqlash mumkin:
( f – g)(x) = f (x) – g(x)
( fg)(x) = f(x)g(x)
Diqqat qiling!
1) A ∩ B = Ø bo‘lsa, bu amallar aniqlanmaydi.
2) Ikkita f(x) va g(x) funksiyalarning bo‘linmasini aniqlashda X dan olingan har bir x element uchun g(x)≠0 bo‘lishi talab etiladi.
1-misol. va funksiyalar berilgan.

1. 
   funksiyalarni va ularning aniqlanish sohasini toping
   

Yechish: f ning aniqlanish sohasi g niki esa ning aniqlanish sohalari kesishmasi bo’ladi.
Shundan quyidagicha bajariladi:

(Aniqlanish sohasini sonli oraliqlar va to’plam ko’rinishida ifodalay olishni bilishi kerak).

2. 
   qiymat har bir yangi funksiyaning aniqlanish sohasiga tegishli ekanligidan quyidagi qiymatlar aniqlangan:
   

(Funksiyarni yig’indisi, ayirmasi, ko’paytmasi, bo’linmasini nuqtadagi qiymatini aniqlay olishi kerak).

2-misol. Funksiyalarni grafik usulda qo‘shish.


MISOLLAR (34-bet)

1-misol. Funksiyalarni qoʻshing va ayiring.
2-misol. Funksiyalarni koʻpaytiring.
3-misol. larni va ularning aniqlanish sohasini toping.
4-misol. Funksiyaning aniqlanish sohasini toping.


c-qismidagi misolda darajali funksiyaning aniqlanish sohasi n ga bog’liq ekanligini bilish kerak .
5-misol. Grafik usuldagi qo‘shish yordamida f + g funksiyaning grafigini chizing.
MURAKKAB, TESKARI, DAVRIY FUNKSIYALAR
Murakkab funksiya
Funksiyalarni ketma-ket qo‘llash natijasida o‘zgaruvchilarning yangi bog‘lanishlari hosil bo‘ladi. Agar X to‘plamda y = f(x) funksiya berilgan bo‘lib, x argument T to‘plamda aniqlangan biror x = g(t) funksiya bo‘lsa, u holda T to‘plamda y = f(g(t)) murakkab funksiya aniqlangan deyiladi.
(X to’plam g(t) funksiyaning qiymatlar sohasi, f(x) funksiyaning esa aniqlanish sohasi ekanligini bilishi kerak. Funksiyalar kompozitsiyasini bilishi kerak).
Masalan, funskiya to’plamda, funksiya esa to‘plamda berilgan bo‘lsin. U holda funksiya to’plamda va funksiyalarning murakkab funksiyasi bo’ladi.
1-misol.
va funksiyalar berilgan:
a) f(g(x)) va g(f(x)) murakkab funksiyalarni va ularning aniqlanish sohasini toping;
b) f(g(5)) va g(f(7)) ni toping.
2-misol.
Agar va berilgan bo‘lsa, quyidagi funksiyalarni va ularning aniqlanish
sohasini toping.
a) f(g(x)) b) g(f(x)) c) f(f(x)) d) g(g(x))
3-misol.
bo’lsa, f(g(h(x))) ni toping.
Shu vaqtgacha biz sodda funksiyalardan murakkab funksiyalarni hosil qilish hollarini qarab chiqdik. Lekin matematik analizda “teskari amal” – murakkab funksiyadan sodda funksiyalarni aniqlay olish juda foydalidir. Quyidagi misolda buni qarab chiqamiz:
(Bu tipdagi misollarni yechish uchun teoremaga teskari teorema, teskari amal bajara olish ko’nikmalari bo’lishi kerak)