1. Funkcionaldıń kúshli hám kúshsiz minimumları. Múmkin bolǵan iymek sızıqlar Egerde funkcionalı ekstremumǵa izertlenip atırǵan bolsa hám -onıń ekstremum «noqatına»

1 - mısal. keńisliginde berilgen
(4.3)
funkcionalı hár bir noqatında differenciallanatuǵının kórsetiń.
Sheshiliwi. Berilgen (3) funkcionalı sızıqlı funkcional. Sonlıqtan onıń ósimi tómendegishe jazıladı:

Solay etip,

qa qarata sızıqlı funkcional boladı. Bul jaǵdayda funkcionalınıń barlıq ósimleri qa qarata sızıqlı funkcionalǵa keltirildi. Sonlıqtan berilgen (3) funkcionalı hár bir noqatında differenciallanatuǵın funkcional boladı hám onıń variaciyası

boladı.
3-anıqlama. (Funkcionaldıń variaciyasınıń ekinshi anıqlaması). funkcionalınıń noqatındaǵı variaciyası dep, funkcionalınıń parametri boyınsha alınǵan tuwındısınıń bolǵandaǵı mánisine aytıladı:
(4.4)
Egerde funkcionalınıń variaciyasınıń birinshi anıqlama mánisindegi variaciyası bar bolsa, onda onıń ekinshi anıqlama mánisindegi variaciyası da bar bolıp, olar bir-biri menen sáykes keledi.
2 - mısal. Funkcionaldıń variaciyasınıń ekinshi anıqlamasınan paydalanıp
(4.5)
funkcionalınıń variaciyasın tabıń.
Sheshiliwi.

Bunnan

teńligi kelip shıǵadı. Demek,

boladı. Salıstırıw ushın (5) funkcionalınıń birinshi anıqlama mánisindegi variaciyasın tabamız:

boladı. Sońǵı teńliktiń oń jaǵındaǵı birinshi qosılıwshı shamasına qarata sızıqlı funkcional boladı. Sonlıqtan ol, funkcionaldıń variaciyasınıń birinshi anıqlaması boyınsha (5) funkcionalınıń variaciyası boladı, yaǵnıy

teńligine kelemiz. Solay etip, (5) funkcionalınıń birinshi hám ekinshi anıqlamaları boyınsha tabılǵan variaciyaları bir-birine sáykes keledi.
2. Funkcionaldıń ekinshi variaciyası.
4 - anıqlama. Egerde eki x hám y elementlerinen ǵárezli bolǵan funkcionalı x tıń mánislerinde y tiń sızıqlı funkcionalı, al y tiń berilgen mánisleride x tıń sızıqlı funkcionalı bolsa, onda ol qos (eki ret) sızıqlı funkcional dep ataladı. Solay etip, egerde
(4.6)
teńlikleri orınlansa, onda qos sızıqlı funkcional dep ataladı.
Qos sızıqlı funkcionalında bolsa, onda kvadratlıq funkcional dep atalatuǵın ańlatpasına iye bolamız.
Shekli ólshemli keńeslikte qos sızıqlı funkcional qos sızıqlı forma dep ataladı.
Egerde nolden ózgeshe qálegen x elementi ushın teńsizligi orınlansa, onda kvadratlıq funkcionalı oń anıqlanǵan funkcional dep ataladı.
3 – mısal. ańlatpası keńesliginde qos sızıqlı funkcional, al ańlatpası-kvadratlıq funkcional boladı. Bunda - berilgen úzliksiz funkciya dep uyǵarıladı.
Meyli - qanday da bir normallasqan sızıqlı keńislikte anıqlanǵan funkcional bolsın.