1. Funksiyani aniqlanish sohasini topish; Funksiyaning uzulish nuqtalarini aniqlash

2. Ko‘paytmaning hosilasi.
2-teorema. Agar u(x) va v(x) funksiyalar x_∈(a,b) nuqtada hosilaga ega bo‘lsa, u holda ularning f(x)=u(x)⋅v(x) ko‘paytmasi ham x∈(a,b) nuqtada hosilaga ega va f’(x)=u’(x)v(x)+u(x)v’(x) (4.2)
tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Isboti. 1⁰. f(x)=u(x)_⋅v(x).
2⁰f(x+∆x)=u(x+∆x)⋅v(x+∆x)=(u(x)+∆u)⋅(v(x)+∆v)= =u(x)v(x)+∆uv(x)+∆vu(x)+ ∆u∆v.
3⁰. ∆y= f(x+∆x)- f(x)= ∆uv(x)+∆vu(x)+∆u∆v.
4⁰. ^∆y ₌^∆uv( x )+^∆vu( x )+^∆u^∆x ₌ ^∆u v( x )₊^∆v u( x )₊^∆u _∆v .
∆x ∆x ∆x ∆x ∆x
5⁰. Lim ^∆y =( lim ^∆u )_⋅v( x )₊( lim ^∆v )_⋅u( x )₊ lim ^∆u _⋅ lim _∆v=
∆x→0 _∆x ∆x→0 _∆x ∆x→0 _∆x ∆x→0 _∆x ∆x→0
=u’(x)⋅v(x)+u(x)⋅v’(x)++u’(x) v.
Bunda v(x) funksiyaning uzluksizligini e’tiborga olsak lim _∆v=0 va natijada
∆x→0 (4.2) formulaga ega bo‘lamiz.
1-natija. Quyidagi (Cu(x))’=C_⋅u’(x) formula o‘rinli.
Isboti. Ikkinchi teoremaga ko‘ra (Cu(x))’=C’_⋅u(x)+C_⋅u’(x). Ammo C’=0, demak (Cu(x))’=C_⋅u’(x).

Misollar. 1. (6x²)’=6(x²)’=6_⋅2x=12x.

2. 
   (x⁴)’=((x²)(x²))’=(x²)’(x²)+(x²)(x²)’=2x(x²)+(x²)_⋅2x=4x³.
   
3. 
   (0,25x4-3x2)’=(0,25x⁴)’+(3x²)’=0,25_⋅4x³+3_⋅2x= x³+6x.
   

2-natija. Agar u₁(x), u₂(x), ... ,u_n(x) funksiyalar x nuqtada hosilaga ega bo‘lsa, u holda ularning ko‘paytmasi f(x)= u₁(x)⋅u₂(x)⋅ ...⋅u_n(x) ham x nuqtada hosilaga ega va quyidagi formula o‘rinli bo‘ladi:
f’(x)= (u₁(x)⋅ u₂(x)⋅ ...⋅u_n(x))’= u’₁(x)⋅ u₂(x)⋅ ...⋅u_n(x)+ u₁(x)⋅ u’₂(x)⋅ ...⋅u_n(x)+...+ u₁(x)⋅ u₂(x)⋅ ...⋅u’_n(x).

FUNKSIYANING O’ZGARMASLIK SHARTI
Teorema. funksiya oraliqda differensialalnuvchi bo’lsin .Shu intervalda funksiya o’zgarmas bo’lishi uchun bo’lishi zarur va yetarli.
Isboti.Zarurligi ravshan .Chunki funksiya o’zgarmas bo’lsa ,barcha nuqtada bo’ladi.
Yeterliligi .Shartga ko’ra funksiya intervalda differensialanuvchi,
Ya’ni uchun chekli hosila mavjud va .Endi bo’lgan
nuqtalarni olaylik .Qaralayotgan funksiya kesmada
Lagranj teremasining barcha shartlarini qanoatlantiradi.Demak , intervalda tegishli shunday s nuqta topilib,
(1)
Tenglik o’rinli bo’ladi .Teorema shartiga ko’ra uchun , bundan va (1) tenglikdan ekanligi kelib chiqadi.
Shunday qilib, funksiyaning intervalning istalgan ikkita nuqtasidagi qiymatlarining o’zaro teng.Demak,funksiya o’zgarmas bo’ladi.
Bundan integral hisobda muhim rol o’ynaydigan quidagi natija kelib chiqadi .
Natija. Agar va funksiyalar da chekli va hosilalarga ega bo’lib ,shu intervalda tenglik o’rinli bo’lsa ,u holda bilan berilgan
funksiyalar bir-biridan o’zgarmas songa farq qiladi :
,C=const.
Haqiqatdan ham,shartga ko’ra .

FUNKSIYANI MANATON BO’LISHI
funksiya intervalda aniqlangan bo’lsin.
2–teorema. funksiya intervalda chekli hosilaga ega
bo’lsin. Bu funksiya shu intervalda o’suvchi (kamayuvchi) bo’lishi uchun
intervalda tenglik o’rinli bo’lishi zarur va yetarli.
Zarurligi. Shartda ko’ra funksiya da chekli hosilaga
ega bo’lib, intervalda o’suvchi (kamayuvchi). nuqtani olib, u
bilan birga nuqtada ham qaraymiz. U holda




munosabatlar o’rinli bo’ladi
Malumki (7.3) va (7.4) munosabatlardan (4–bob, 4–§ ga qarang ) intervalning
barcha nuqtalarida

tenglik o’rinli bo’lishini topamiz.
Yetarliligi. Shartga ko’ra funksiya intervalda chekli hosilaga ega bo’lib, shu intervalda
tengsizlik o’rinli.
va nuqtalarni olaylik. Bu holda
segmentda funksiya Lagranj teoremasining barcha shartlarini qanoatlantiradi. Lagranj teoremasiga muvofiq va nuqtalar orasida shunday nuqta mavjutki, ushbu tenglik o’rinli bo’ladi.
Demak,

bundan funksiya intervalda o’suvchi (kamayuvchi) bo’lishi kelib chiqadi. Yuqorida ketma-ketlikning chegaralanganligi uning limitga ega bo‘lishi uchun zaruriy shart bo‘lishini inobatga olsak. Limitga ega bo‘lgan ketma-ketlik chegaralangan bo‘ladi. Lekin teskari mulohaza noto‘g‘ri bo‘lishi mumkin. Har qanday chegaralangan ketma-ketlikning limiti mavjud bo’lavermaydi. Limiti mavjud bo‘ladigan ketma-ketlik chegaralangan bo‘lishdan tashqari yana qandaydir xususiyatga ega bo‘lishi kerak. Ketma-ketlikning bunday xususiyati uning monotonligidir. Ketma-ketlikning limiti mavjud bo‘lishining asosiy belgisi uning bir vaqtda cliegaralangan va monoton bolishidir. Chegaralanganlik va monotonlik cheksiz ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘lishining yetarli shartlarini ifodalaydi. Shunday ekan biz berilgan ketma-ketlikning monotonlik xususiyatini va chegaralanganligini ko‘rsata olsak, albatta, bunday ketmaketlik chekli limitga ega bo‘ladi. Keyingi vazifa esa limitni hisoblash usulinitanlab, uni topishdan iboratdir . Har qanday monoton chegaralangan ketma-ketlik limitga ega bo ‘ladi. Bu teoremaning isbotini keltirmaymiz. Veyershtrass teoremasi ketma-ketlik limitining mavjud bo‘lishining yetarli shartlarini ifodalaydi. Lekin limitni topish usulini ko‘rsata olmaydi. Ko‘pchilik hollarda ketma-ketlik limitining mavjudligi haqida m a’lum ot berish bu limitni topish uchun yetarli bo‘ladi.