1. Ikki karrali integralga keltiriladigan ba’zi masalalar. Ikki karrali integralning ta’rifi

4. O’rta qiymat haqidagi teorema.


funksiya yopiq sohada uzluksiz bo’lsa, u holda sohada shunday nuqta mavjudki, bunda
(6)

tenglik o’rinli bo’ladi.

Isboti. Yopiq sohada uzluksiz bo’lgan funksiya shu sohada o’zining eng katta va eng kichik qiymatlariga erishadi. deb belgilab,

(7-xossaga ko’ra) tengsizlikni hosil qilamiz. va sonlar orasida shunday son mavjudki, bunda tenglik bajariladi. funksiya sohada uzluksiz bo’lgani uchun shunday nuqta mavjudki, bo’ladi. Natijada

kelib chiqadi.

5.Iккi кarrali integralni hisoblash

Biror D sohada uzluksiz bo’lgan z=f(x, y) funksiyadan olingan ikki o’lchovli

integralni hisoblash talab etilsin.

Ta’rif. Agar koordinata o’qlariga parallel bo’lib, D sohani kesib o’tuvchi to’g’ri chiziqlar Z konturni ikki nuqtada kesib o’tsa, D soha to’g’ri soha deyiladi.
Z yopiq kontur bilan chegaralangan D soha to’g’ri soha bo’lsin. Shaklga asosan yozamiz:

1-rasm

1-teorema. z=f(x, y) uzluksiz funksiyaning D to’g’ri soha bo’yicha olingan ikki o’lchovli integrali funksiyaning o’sha D soha bo’yicha olingan ikki karrali integraliga teng, ya’ni:

Xuddi shuningdek, D to’g’ri sohani quyidagicha aniqlash mumkin:

2-rasm.

U holda

tenglik o’rinlidir. Bundan

ekanligi kelib chiqadi. Demak, karrali integrallarning integrallash tartibini o’zgartirish mumkin. Qaysi biri hisoblash uchun qulay bo’lsa, misollar ishlash vaqtida shunisidan foydalanamiz.

1-misol. Quyidagi integralning integrallash tartibi o’zgartirilsin:



3-rasm.

2-misol. karrali integralni hisoblang, bu yerda soha va chiziqlar bilan chegaralangan.

4-rasm