1. Ikki karrali integralga keltiriladigan ba’zi masalalar. Ikki karrali integralning ta’rifi

8.Sirtning yuzini hisoblash.

Fazoda  egri chiziq bilan chegaralangan  sirt berilgan bo’lsin. Sirtning tenglamasi z=f(x, y) uzluksiz funksiya bilan aniqlangan bo’lib, z=f(x, y) uzluksiz xususiy hosilalarga ham ega bo’lsin. Sirt yuzini hisoblash talab etilsin. Sirtning OXU tekislikdagi proeksiyasi D to’g’ri soha bo’lsin. D sohani ixtiyoriy n ta yuzalarga bo’lamiz va har bir yuzadan nuqtalarni tanlab olamiz. nuqtaga fazoda nuqta mos keladi.

7-rasm.

Analitik geometriya kursidan ma’lumki sirtning har bir nuqtasiga urinma tekislik o’tkazish mumkin, uning tenglamasi

(1)

ko’rinishga ega.

Fazodagi  sirt proeksiyalari ga mos keluvchi yuzalarga ajraladi va biz ularning yig’indisini qaraymiz.
(2)


-yuzalar diametrining eng kattasi nolga intilgandagi (2) yig’indi chekli limitga ega bo’lsa, shu limitni sirtning yuzi deymiz, ya’ni
(3)

Urinma tekislik va OXU tekisliklar orasidagi burchakni deb belgilaymiz, u holda analitik geometriya kursidan ma’lumki,

yoki
(4)

(1) tenglamadan urinma tekislik tenglamasining yo’naltiruvchi kosinusi

ga teng. Bundan

(5)
(5) ni (3) ga qo’yamiz.

O’ng tomondagi ifodaning limiti ikki o’lchovli integralning integral yig’indisidir. Shu sababli yozamiz:

(6)

Xuddi shuningdek, fazodagi  sirtni OXZ yoki OYZ tekisliklarga proeksiyalasak, quyidagi sirt yuzini hisoblash formulalariga kelamiz

.


9. Tekis shakl yuzining inersiya momenti

Nazariy mexanika kursidan ma’lumki, massaga ega bo‘lgan moddiy nuqtaning biror O nuqtaga nisbatan inersiya momenti deb

ga aytiladi, bu yerda .
Agar mos ravishda massaga ega bo‘lgan moddiy nuqtalarning sistemasi berilgan bo‘lsa, bu sistemaning biror O nuqtaga nisbatan inersiya momenti deb

ni qabul qilinadi, bu yerda .
Aytaylik, biror tekis shakl chekli diametrli, o‘lchanuvchi yopiq soha ko‘rinishida berilgan bo‘lib, uning har bir nuqtasidagi zichligi uzluksiz va manfiy bo‘lmagan funksiya vositasida aniqlangan bo‘lsin. Bu tekis shaklning koordinata boshiga nisbatan inersiya momentini hisoblash maqsadida uni ixtiyoriy usulda ta elementar tashkil etuvchilarga ajratamiz va ulardan -sining (yuzini ham) bilan belgilab, unga tegishli bo‘lgan ixtiyoriy bitta nuqtani olamiz. Uni moddiy nuqta sifatida qarab, massasi sifatida ni qabul qilamiz. Bu ishni bajarib, tekis shakl koordinatalar boshiga nisbatan inersiya momentining taqribiy qiymati deb, har birining massasi dan iborat bo‘lgan moddiy nuqtalar sistemasining inersiya momentini qabul qilamiz:
,
bu yerda ekanligi ma’lumdir.
Agar oxirgi taqribiy tenglikda dagi limitga o‘tib, bu yerda ( ning diametri) va
(1)
deb qabul qilib, tekis shaklning koordinata boshiga nisbatan inersiya momentini hisoblash uchun formulani olamiz.
Bu o‘rinda

lar mos ravishda, tekis shaklning yoki o‘qqa nisbatan inersiya momenti deb yuritilishini aytamiz.