1. Кириш. Асосий тушунчалар ва таърифлар. Дифференциал тенгламалар тушунчасига олиб келувчи айрим масалалар

1. Кириш. Асосий тушунчалар ва таърифлар. Дифференциал тенгламалар тушунчасига олиб келувчи айрим масалалар.

1.1. Differentsial tenglamalar tushunchasiga olib keluvchi ayrim masalalar. Kuzatilayotgan jarayonda bir nechta o’zgaruvchi miqdorlarning o’zaro munosabatda bo’lishligiga 6-bobda, keyinchalik 7-bobda bir nechta misollar orqali ishonch hosil qilgan edik.
Ular o’rtasidagi funktsional munosabatlarni biz shu jarayonning tenglamasi deb nomlagan edik. Bu tenglamani shu jarayonning ma-tematik modeli, deb ham atashadi. Shu tenglamaga kiruvchi ayrim o’zgaruvchilar asosiy o’zgaruvchilar orqali ifadalanishi mumkin. Masalan, moddiy nuqta harakatini ko’raylik. U biror vaqt ichida qandaydir masofani bosib o’tadi. Ma’lumki, vaqtning funktsiyasidir, ya’ni . masofani moddiy nuqta biror tezlik bilan bosib o’tsin. Bilamizki (6-bob, 1.1-§ ga qarang), , moddiy nuqtaning tezlanishi esa edi. Jarayonni kuzatish maqsadidan kelib chiqqan holda, jarayon tenglamasi nainki , o’zgaruvchilarni, balki va larni, ya’ni ning birinchi va ikkinchi hosilalarini ham o’z ichiga olishi mumkin. Shunday holatlarga doir bir nechta misollar ko’raylik.
1-m i s o l. Massasi bo’lgan biror jism yuqoridan tashlangan bo’lsin. Agar jismga og’irlik kuchidan tashqari uning tushish tezligi ga proportsional bo’lgan havoning qarshilik kuchi ham ta’sir etsa, shu jismning tezligi qanday qonun bilan o’zgarishini aniqlang.
Y echish. Nyutonning ikkinchi qonu-niga ko’ra
,
bu yerda -harakatdagi jismning tezlanishi, esa jismga ta’sir etuvchi kuch. Bu kuch jismning og’irlik kuchi va havoning qarshilik kuchi lar yig’indisidan iborat bo’ladi.
Demak,
, (1)
ya’ni noma’lum funktsiya va uning hosilasi larga nisbatan tenglama hosil qildik.
Har qanday

ko’rinishdagi funktsiya (1) tenglikni qanoatlantiradi (buni tekshirishni o’quvchining o’ziga havola qilamiz).
2-m i s o l. Massasi bo’lgan moddiy nuqta vaqtning momentida (absolyut) tezlikka ega bo’lsin. vaqt ichida unga massalari yig’indisi , qo’shilgunga qadar tezligi bo’lgan zarralar qo’shilsin. U holda, momentda nuqta va unga qo’shilgan zarralar massasi va tezligi bo’ladi.
Bu nuqtalar sistemasining momentdagi harakat miqdori

bo’lsa, momentda esa

bo’ladi.
Demak, sistema harakat miqdorining vaqt ichida o’zgarishi

ga teng bo’ladi.
Tezlik kabi massani ham vaqtning uzluksiz va differentsiallanuvchi funktsiyasi, deb faraz qilaylik. Oxirgi tenglikni ga bo’lib, da limitga o’tsak,

ekanligidan

munosabat hosil bo’ladi. Agar o’zgaruvchan massali jismga qo’yilgan tashqi kuchlarning teng ta’sir etuvchisi ga teng bo’lsa, harakat miqdori haqidagi teoremaga ko’ra
(2)
tenglamani hosil qilamiz. Bu tenglama Mesherskiy tenglamasi, deb ataladi. Bu tenglama orqali xarakterlanadigan jarayon reaktiv harakat, deyiladi.
Agar zarralar qo’shilib borsa, nuqtaning massasi ortib boradi, shu sababli bo’ladi, agar parchalanish jarayoni kuzatilayotgan bo’lsa, ya’ni nuqtadan zarralar ajralib chiqa boshlasa, bo’ladi, va nihoyat, nuqta massasi o’zgarmasa, bo’lib, (2) tenglama Nyutonning ikkinchi qonunini ifodalaydi.

miqdor nuqtaga qo’shilayotgan zarralarning nisbiy tezligi, deb ataladi. Mesherskiy tenglamasini bu miqdor orqali quyidagicha yozish mumkin:
(3)
yoki
,
bu yerda reaktiv kuch, deb nomlangan.
Agar o’zgaruvchan massali nuqtaga tashqi kuchlar ta’sir etmasa, bo’lib, oxirgi tenglama quyidagi ko’rinishni oladi:
.
3 - m i s o l . Ba’zi elementlar atomlarining yadrolari alfa-, beta- va gamma- nurlar chiqarib boshqa elementlar yadrolariga o’z-o’zidan aylanishi radioaktiv yemirilish, deyiladi. Radioaktiv yemirilish statistik xarakterga ega: atomlarning yadrolari hammasi birdaniga yemirilmay, balki izotopning butun mavjud bo’lish davrida yemiriladi. Bunda birlik vaqt ichida yemiriladigan atomlar soni har bir izotop uchun o’zgarmas bo’lib, uning yemirilmagan atomlari miqdorining biror qismini tashkil etishi aniqlangan. Bu kattalik qismiy yemirilish doimiysi, deyiladi va harfi bilan belgilanadi.
Shunday qilib, vaqt davomida yemirilgan atomlar soni ga teng, ya’ni
, (4)
bu yerda son vaqt momentida yemirilmay qolgan atomlar sonidir. Manfiy ishora yemirilmagan atomlar soni vaqt o’tishi bilan kamayishini bildiradi.
4 – m i s o l . Kimyoviy reaktsiya mobaynida va moddalar moddaga o’tsin. Agar harorat o’zgarmas va reaktsiya tezligi: a) modda moddaga o’tganda moddaning qolgan miqdoriga; b) va moddalar moddaga o’tganda tegishli massalar ko’paytmasiga proportsional bo’lsa, moddaning miqdorini topaylik.
moddaning miqdori bo’lsin. Agar a) hol yuz bersa, moddaning boshlang’ich miqdorini va proportsionallik koeffitsientini desak,
(5)
tenglama, va agar b) hol yuz bersa,
(6)
tenglama hosil bo’ladi.
5-m i s o l . Qarshiligi , induktivligi va sig’imi bo’lgan maydonlar ketma-ket ulangan zanjirda boshlang’ich vaqt momentida konturdagi tok va kondensatordagi zaryad nolga teng bo’lsa, shu zanjirdagi o’tish jarayonlarini tekshiring.

Kirkgofning 1-qonuniga ko’ra, elektr zanjirning tarmoqlarida sarf bo’layotgan toklar yig’indisi nolga teng, 2-qonuniga ko’ra esa elektr zanjirning har qanday yopiq konturining barcha tarmoqlaridagi kuchlanishlar pasayishining yig’indisi shu konturdagi elektr manbaaning EYuK lari yig’indisiga teng.
Butun zanjir bo’ylab kuchlanishning pasayishi barcha maydon-lardagi kuchlanishlar pasayishining yig’indisiga teng (2-rasmga qarang): . Om qonuniga asosan qarshiligi bo’lgan maydon uchun . Sig’imi bo’lgan kondensator uchun , bu yerda q - kondensatorning zaryadi. Ma’lumki, . Bundan .Induktivligi bo’lgan katushka uchun .
U holda bo’ladi. Agar bu teng- likni bo’yicha differentsiallab yuborsak, quyidagi tenglamani hosil qilamiz:
. (7)