1. Кириш. Асосий тушунчалар ва таърифлар. Дифференциал тенгламалар тушунчасига олиб келувчи айрим масалалар

3.1. Bernulli usuli. (1) ning yechimini
(2)
ko’rinishda qidiramiz. Buning uchun (2) ni differentsiallab, (1) ga olib borib qo’yamiz:

yoki
(3)
Agar funktsiyani
(4)
bir jinsli tenglamaning echimi sifatida tanlasak, (3) quyidagi
(5)
ko’rinishga keladi. Natijada noma’lum va funktsiyalarni topish uchun tenglamalar sistemasini hosil qilamiz:

(4) tenglama o’zgaruvchilari ajraluvchi tenglama, shuning uchun

bo’ladi. Agar uni integrallasak:

bo’ladi. Bundan

kelib chiqadi. Bu (4) ning umumiy yechimi, lekin bizga uning bitta xususiy yechimini bilish kifoya edi, shu sababli funktsiya sifatida
(6)
ni olamiz. Ayonki, . Endi (5) ni yechish mumkin, buning uchun (6) ni (5) ga qo’yib, uning o’zgaruvchilarini ajratsak:

bo’ladi. Buni integrallasak:

hosil bo’ladi. Va nihoyat, topilgan va funktsiyalarni (2) ga qo’ysak, (1) ning umumiy yechimi kelib chiqadi:
.
Bu haqiqatan umumiy yechim, chunki har qanday boshlang’ich shart uchun S ni

tenglamadan topish mumkin, bu yerda .
1 - m i s o l . O’zgarmas qarshilik va induktivlik ketma-ket ulangan induktivlik zanjiridagi tokning o’tish jarayonini boshlang’ich tok va kuchlanish bo’lgan hol uchun ko’raylik.
Yechish . Ma’lumki (§1.1, 5-misolga qarang), bunday zanjirdan tokning o’tish tenglamasi
(7)
bo’ladi. Buni qo’yidagicha yozib olamiz:
.
Bu ga nisbatan birinchi tartibli chiziqli differentsial tenglamadir.Bu yerdagi kattalik masala shartiga ko’ra o’zgarmas, uni zanjirning vaqt doimiysi deyiladi.
Uning yechimini (2) ko’rinishda qidiramiz. U holda noma’lum va funktsiyalarga nisbatan hosil bo’ladigan sistema qo’yidagi ko’rinishda bo’ladi:

Bu sistemaning birinchi tenglamasini yechamiz:

yoki
.
Buni sistemaning ikkinchi tenglamasiga qo’yib, ni topamiz:

Oxirgi tenglikni integrallab yuborsak:

hosil bo’ladi. U holda yechim

bo’ladi. Agar boshlang’ich shartni qo’llasak:

ekanligi kelib chiqadi. Demak, masalaning yechimi

ekan.