1. Кириш. Асосий тушунчалар ва таърифлар. Дифференциал тенгламалар тушунчасига олиб келувчи айрим масалалар

2.3. Bir jinslikka keltiriladigan differentsial tenglamalar. Agar
(6)
ko’rinishdagi tenglamada bo’lsa, bu tenglama bir jinsli bo’ladi, aks holda, ya’ni s va s₁ larning kamida bittasi noldan farqli bo’lsa, bu tenglamani bir jinsli tenglamaga keltirish mumkin. Buning uchun
,
almashtirish bajaramiz.

bo’lgani uchun, (6) bu almashtirish natijasida
(7)
ko’rinishga keladi. Agar va larni
(8)
sistemaning yechimlari qilib tanlasak, (7) quyidagi bir jinsli

tenglamaga keladi.
Agar (8) sistema yechimga ega bo’lmasa, ya’ni bo’lsa, u holda va deb, (6) ni
(9)
ko’rinishga keltirish mumkin. Bu tenglama
(10)
almashtirish yordamida o’zgaruvchilari ajraluvchi tenglamaga keladi. Haqiqatan,
yoki . (11)
(10) va (11) larni (9) ga qo’ysak, o’zgaruvchilari ajraluvchi

tenglama hosil bo’ladi.
Eslatma. Ixtiyoriy uzluksiz  funktsiya uchun

ko’rinishdagi har qanday tenglama yuqoridagi usullar yordamida integrallanadi.
6 - m i s o l . tenglamaning umumiy yechimini toping.
Yechish . Buning uchun avval

sistemani yechib olamiz . Endi berilgan tenglamada  almashtirish bajarsak, tenglama

ko’rinishga keladi. Bu tenglama almashtirish yordamida o’zgaruvchilari ajraluvchi

tenglamaga keltiriladi. Bu tenglamaning umumiy integrali
.
Agar bu yerda deb, tenglikning ikkala tomonini kvadratga ko’tarsak:

munosabat hosil bo’ladi. Eski o’zgaruvchilar va larga qaytish uchun oxirgi tenglikda deb, bir nechta elementar almashtirishlar bajarsak, berilgan tenglamaning umumiy integrali

kelib chiqadi.
7 - m i s o l . tenglamaning umumiy yechimini toping.
Yechish . Bu tenglama uchun (8) sistema yechimga ega emas. Shuning uchun almashtirish bajaramiz. Natijada tenglama
yoki
ko’rinishga keladi. O’zgaruvchilarni ajratib integrallasak:
yoki
hosil bo’ladi. Endi oxirgi tenglikda deb eski o’zgaruvchilarga o’tsak, berilgan tenglamaning umumiy integrali kelib chiqadi:
.
Қуйидаги дифференциал тенгламаларни ечинг.