1. Кириш. Асосий тушунчалар ва таърифлар. Дифференциал тенгламалар тушунчасига олиб келувчи айрим масалалар

3. Birinchi tartibli chiziqli tenglamalar
Umumiy tushunchalar. Birinchi tartibli differentsial tenglama quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi:
. (1)
Ko’pincha uni ga nisbatan yechib olib,
(2)
ko’rinishga keltirib olish mumkin.
(2) ko’rinishdagi tenglamalar yechimlari uchun mavjudlik va yagonalik shartlarini beruvchi quyidagi teorema o’rinli.
Teorema. Agar (2) tenglamaning o’ng tomonidagi funk-tsiya biror nuqtani o’z ichiga oluvchi sohada uzluksiz va bo’yicha uzluksiz differentsiallanuvchi bo’lsa, u holda (2) tenglamaning shartni qanoatlantiruvchi yagona yechimi mavjud.
Geometrik nuqtai-nazardan teorema grafigi berilgan nuqtadan o’tuvchi yagona funktsiya mavjudligini bildiradi.
Bu teoremadan differentsial tenglamaning yechimlari cheksiz ko’p bo’lishligi kelib chiqadi, chunki sohada har xil nuqtalar olsak, ulardan o’tuvchi mos yechimlar har xil bo’ladi.
shart boshlang’ich shart, deyiladi. Uni quyidagi

ko’rinishda ham yoziladi.
1-Ta’rif. 1-tartibli differentsial tenglamaning umumiy yechimi deb shunday
(3)
funktsiyaga aytamizki, u: a) har qanday o’zgarmas son uchun differentsial tenglamani qanoatlantiradi; b) boshlang’ich shart qanday bo’lmasin, shunday qiymat topiladiki, funktsiya boshlang’ich shartni qanoatlantiradi.
Qo’yilgan masalaning yechimi oshkormas
(4)
ko’rinishda aniqlanishi mumkin. Agar (4) ni ga nisbatan yechish mumkin bo’lsa, bu ishni bajarib, umumiy yechimni topamiz. Agar buni imkoni bo’lmasa, yechim oshkormas (4) ko’rinishda qoladi. Bu holda (4) ni differentsial tenglamaning umumiy integrali, deb ataymiz.
2-Ta’rif. Differentsial tenglamaning umumiy (3) yechimida o’zgarmas songa biror qiymat bersak, hosil bo’lgan funktsiya differentsial tenglamaning xususiy yechimi, deb ataladi. Xuddi shunday funktsiya tenglamaning xususiy integrali deyiladi.
1-m i s o l. Quyidagi

differentsial tenglamaning umumiy yechimi bo’lsa, uning
boshlang’ich shartini qanoatlantiruvchi xususiy yechimini topish uchun qiymatlarni umumiy yechim tenglamasiga qo’ysak, , ya’ni bo’ladi. Demak, berilgan differentsial tenglamaning xususiy yechimi bo’ladi.
Agar umumiy integrallarning koordinatalar tekisligidagi grafiklarini ko’rsak, ular o’zgarmas songa bog’liq bo’lgan egri chiziqlar oilasini beradi. Bu egri chiziqlar differentsial tenglamaning integral chiziqlari, deb ataladi. Xususiy yechimga bu oilaning tekislikning biror nuqtasidan o’tuvchi bitta egri chizig’i mos keladi.
O xirgi ko’rilgan misolda umumiy yechim parabolalar oilasini ifodalasa, topilgan xususiy yechim nuqtadan o’tuvchi parabolani ifodalaydi. 1-rasmda bu oilaning ,
, , va
qiymatlarga mos keluvchi a’zolari ko’rsatilgan.
Qilayotgan mulohazala-rimiz geometrik nuqtai-nazardan tushunarli bo’lishi uchun tenglamaning yechimi, deb faqat funktsiyani o’zini emas, balki uning grafigi bo’lmish integral egri chiziqni ham tushunamiz.
Masalan, tenglamaning yechimi nuqtadan o’tadi, deymiz.
Demak, differentsial tenglamani yechish yoki uni integrallash deganda:
a) uning umumiy yechimi yoki umumiy integralini (agar boshlang’ich shartlar berilmagan bo’lsa) yoki
b) uning xususiy yechimini (agar boshlang’ich shartlar berilgan bo’lsa) topishni tushunar ekanmiz.


Ta’rif. Noma’lum funktsiyaga va uning hosilasiga nisbatan chiziqli bo’lgan ushbu
(1)
ko’rinishdagi tenglama birinchi tartibli chiziqli tenglama, deb ataladi, bu erda lar berilgan o’zgarmas yoki ning uzluksiz funktsiyalaridir.
Agar bo’lsa, (1) ni bir jinsli¹ tenglama, aks holda bir jinsli bo’lmagan tenglama deymiz. (1) ko’rinishdagi tenglamalarni echishning ikki usuli bor.