1. Кириш. Асосий тушунчалар ва таърифлар. Дифференциал тенгламалар тушунчасига олиб келувчи айрим масалалар

Bernulli tenglamasi.
Quyidagi ga nisbatan chiziqli bo’lmagan
(1)
ko’rinishdagi tenglama “Bernulli tenglamasi” deb ataladi, bu yerda va bo’lgan ixtiyoriy haqiqiy son, chunki aks holda, tenglama avvalgi paragrafda ko’rilgan chiziqli tenglamaning aynan o’zi bo’ladi. (1) ni chiziqli tenglamaga quyidagi usul bilan keltiriladi.
Tenglamaning ikkala tomonini ga bo’lib yuboramiz:
.
Agar oxirgi tenglamada
(2)
deb o’zgaruvchini almashtirsak, u quyidagi ko’rinishga keladi:

ya’ni z ga nisbatan chiziqli tenglama hosil bo’ladi. Bu tenglamaning umumiy yechimini avvalgi paragrafdagi ikki usulning biri bilan topib olib, undagi z ni ga almashtirsak, Bernulli tenglamasining umumiy integrali kelib chiqadi.
1 - m i s o l . tenglamani echaylik.
Yechish. Bu Bernulli tenglamasi, shuning uchun deb o’zgaruvchini almashtiramiz. U holda tenglama quyidagi ko’rinishga keladi:
.
Buni masalan Lagranj usuli bilan yechaylik:

yoki o’zgaruvchilarini ajratsak:
.
Bundan
.
Bundan hosila olib, berilgan tenglamaga olib borib qo’yamiz:

yoki
.
Buni integrallab yuborsak:

hosil bo’ladi. Demak,

yoki

ekan. Bundan

kelib chiqadi.
Eslatma. Bernulli tenglamasini o’zgaruvchini (2) ko’rinishda almashtirmasdan, bevosita Lagranj usulini qo’llab yechsa ham bo’ladi.
2 - m i s o l . tenglamani Lagranj usulida yechaylik.
Yechish. Avval tenglamani yechib olamiz. Uning umumiy yechimi bo’ladi. Endi , larni berilgan tenglamaga qo’ysak:

tenglama hosil bo’ladi. Unda o’zgaruvchilarini ajratamiz:
.
Bu tenglamani integrallasak:
yoki
kelib chiqadi. Demak, umumiy yechim

bo’lar ekan.

 
 	 
	 
 

1 Bu yerda " bir jinsli " atamasi ifoda va larga nisbatan bir jinsli funktsiya bo’lgani uchun ishlatildi, shu sababli buni va ga nisbatan bir jinsli bo’lgan tenglama bilan chalkashtirish kerak emas.