1-ma’ruza: Chiziqli algebra

Matritsalar ustida amallar ([1] 196-200bet)
Shu paytgacha biz matritsalardan faqatgina chiziqli tenglamalar sistemasini yechishni osonlashtirish uchun foydalangan edik. Lekin matritsalarni boshqa sohalarda qo‘llash uchun ular ustida qo‘shish, ayirish va ko‘paytirish kabi amallarni kiritish talab qilinadi.
2-ta’rif.(teng matritsalar)
Ikkita A va V matritsalar teng deyiladi, agar ularning o‘lchamlari teng bo‘lsa va elementlari uchun a_ij =b_ij shart bajarilsa.
Matritsalar tengligini quyidagi misol orqali tushuntiramiz:
A= , B= , C=
Agar A matritsadagi x element 6 ga teng bo‘lsagina A va V matritsalar teng bo‘ladi. Qolgan hollarda esa ular teng emas. x element qanday bo‘lmasin baribir A matritsa S matritsaga teng bo‘la olmaydi chunki ularning o‘lchamlari har xil.
Matritsalarni qo‘shish.([1] 197bet)
Bir hil mxn o‘lchamli A va B matritsalarning
yig‘indisi deb, huddi shunday o‘lchamli matritsaga aytiladiki, bu
matritsaning har bir elementi A va B matritsalarning mos elementlarining
yig‘indisidan iborat bo‘ladi. Agar A=(a_ij) va B=(b_ij) matritsalarning o‘lchamlari bir xil bo‘lsa u holda
(A+B)_ij=(A)_ij+(B)_ij=a_ij+b_ij (5)

bo‘ladi va ayirma uchun quyidagi o‘rinli:

(6)
Misol. (Matritsalarni qo‘shish va ayirish)
Quyidagi matritsalarni ko‘ramiz
A= , B= , F=
mumkin bo‘lgan matritsalarni qo‘shing va ayiring.
Yechish:A+B = 
A-B = 
F matritsa bilan A va B matritsalarni qo‘shish yoki ayirish mumkin emas,chunki ularning o‘lchamlari har xil. Buni biz matematika dasturidan foydalanib uning xatoligini yaqqol ko‘rishimiz mumkin:
3- tarif. (Matritsani songa ko‘paytirish)
A matritsani qandaydir s soniga ko‘paytirish deb shunday s A matritsaga aytiladiki, uning elementlari A matritsa elementlarini s soniga ko‘paytirishdan hosilbo‘ladi.
cA=c(A)_ij=ca_ij (7)
1-misol.Matritsani songa ko‘paytirish.
c= , b=-1sonlarini
A= , B= , F=
matritsalarga ko‘paytmasini toping.
Yechish.
 A = 
 B=
 = 
-A=
-B =
-F =
1A=A bo‘ladi.
A₁,A₂,…,A_n matritsalar bir xil o‘lchamli matritsalar va s₁,s₂,..,s_nlar haqiqiy sonlar bo‘lsa, u holda
c₁A₁+c₂A₂+…+c_nA_n = (8)
bo‘ladi. Yuqoridagi ifoda a₁,A₂,…,A_n matritsalar va s₁,s₂,..,s_n koeffitsientlarning chiziqli kombinatsiyasi deyiladi.
Masalan A,B,F matritsalar berilgan. Ularning s₁=2, s₂=4 va s₃=3 koeffitsientlar bilan chiziqli kombinatsiyasi quyidagiga teng:
2A-4B+F =