1-ma’ruza: Chiziqli algebra

5-misol.Quyidagi matritsalar berilgan bo‘lsin:
A= , B=
AB matritsani toping.
Yechish: A matritsa 2x3, B matritsa 3x4 o‘lchamli bo‘lganligi uchun AB ko‘paytma 2x4 o‘lchamli bo‘ladi.
AB= 
Matritsani matritsaga ko‘paytirish uchun A matritsaning satrlar soni B matritsaning ustunlar soniga teng bo‘lishi kerak. Agar bu shart bajarilmasa matritsalarning ko‘paytmasi mavjud emas.
mxr o‘lchamli A matritsaning rxn o‘lchamli V matritsaga ko‘paytmasi deb mxn o‘lchamli shunday matritsaga aytiladiki, uning elementi A matritsaning i-satri elementlarini V matritsaning j-ustunidagi mos elementlariga ko‘paytmalari yig‘indisiga teng,
AB= . (10)
ya’ni
(AB)_ij= + +…+ = = (11)

Bu ifoda Eyshteyn yig‘indisi deb ham aytiladi.

Matritsalarning yuqorida ko‘rib chiqqan standart ko‘paytmasidan tashqari ularning Kroneker ko‘paytmasi ham mavjud.
5-ta’rif. (Kroneker ko‘paytmasi) mxn o‘lchamli A matritsaning rxs o‘lchamli V matritsaga Kronekerko‘paytmasi nrxms o‘lchamli shundaymatritsaga aytamizki, u quyidagicha hosil qilinadi:
AB= 
Kroneker ko‘paytmasidan tashqari Kroneker ayirmasi va Kroneker yig‘indisi ham mavjud:
AB=AI_n+I_nB
va
AӨB = AI_n - I_nB
Buerda I_n– birlik matritsa.
Misol. (Kroneker ko‘paytmasi)
A va V matritsalar berilgan bo‘lib ularning Kroneker ko‘paytmasini toping.
A= , B=
Yechish.
Kronecker Product [A,B]

Matritsalarni ko‘paytirish amali kommutativ emas, ya’ni AV VA

haqiqatdan ham, AV ko‘paytma mavjud bo‘lsa, o‘lchamlari to‘g‘ri kelmasligi
sababli VA ko‘paytma umuman mavjud bo‘lmasligi mumkin. Agar AV va VA lar mavjud bo‘lsa ham, ularning o‘lchamlari har hil bo‘lishi mumkin.
Bir xil o‘lchamli kvadrat matritsalar uchun AV va VA ko‘paytmalar
mavjud va ular bir xil o‘lchamga ega bo‘ladi, ammo umuman olganda mos
elementlari teng bo‘lmaydi.