1-ma’ruza. Differensial tenglamalar sistemasini normal koʻrinishiga keltirish. Chiziqli differensial tenglamalar sistemasi. Chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar sistemasi yechimlarining xossalari

Misol 1


harakteristik tenglama tuzamiz

b) Faraz etaylik harakteristik tenglama konpleks ildizga ega bo’lsin. Harakteristik tenglamaning koeffisiyentlari haqiqiy sonalardan iborat bo’lgani uchun u ga qo’shma bo’lgan kompleks ildizga ham ega bo’ladi..

Harakteristik tenglamaning ildiziga mos bo’lgan (2) sistemaning yechimi




kompleks son bo’lgani uchun uni ko’rinishda yozish mumkin. U holda


yechimlarga ega bulamiz. Bundan ko’rinadikim harakteristik tenglamaning bir juft kompleks ildiziga (2) sistemaning 2 ta haqiqiy yechimi mos keladi.


Misol 2



v) Faraz etaylik harakteristik tenglama karrali ildizlarga ega bulsin.
U holda sistemaning umumiy yechimini oldingi metodlar bilan topa olmaymiz. Lekin bu holda ham uning umumiy yechimini elementar funksiyalar yordamida topish mumkin.
O’zgarmas koeffisiyentli chiziqli differensial tenglamada kurgan edikim agar harakteristik tenglamaning k- karrali ildizi bulsa, tenglamaning bu ildizlariga mos bo’lgan k ta chiziqli boglik bo’lmagan yechimlari mavjud bo’ladi.

Sistema uchun kuyidagi teoremani isbotsiz keltiramiz.

TEOREMA. Agar harakteristik tenglamaning k karrali ildizi bulsa, bu ildizga mos bo’lgan (2) sistemaning yechimlari

(11)
ko’rinishda bo’ladi.

Bunda lar ga nisbatan darajasi dan katta bo’lmaganko’p xadlilardir. Bu ko’p xadlilarning har birida ta o’zgarmas sonlar qatnashadi. Bu ko’pxadlilarning hammasidagi hamma koeffisiyentlardan tasi ixtiyoriy bo’lib, qolgan koeffisiyentlar shu ta koeffisiyentlar orqali ifodalanadi.Xususiy holda ko’pxadlilar o’zgarmas songa teng bo’lishi mumkin. Bu holda harakteristik ildizga mos bo’lgan (2) sistemaning yechimi

bo’ladi.

Bundagi sonlardan k tasi ixtiyoriy bo’lib, qolgan koeffisiyentlar ular orqali ifodalanadi.

Amaliyotda ko’pxadlilarning koeffisiyentlarini topish uchun, ularni berilgan (2) sistemaga kuyib, bu ko’pxadlalarning koeffisiyentlariga nisbatan tenglamalar sistemasiga ega bulamiz. Bu koeffisiyentlardan k tasini ixtiyoriy deb, qolgan koeffisiyentlarni ular orqali ifodasini topamiz.


Misol 3




bularni berilgan tenglama kuyib, aniqmas koeffisiyentlar metodidan foydalansak larga nisbatan tenglamalar sistemasiga ega bulamiz.



bulardan


yechimlar



xususiy yechimlarni topish

1)

2)

3)

Agarda desak,