1-ma’ruza. Differensial tenglamalar sistemasini normal koʻrinishiga keltirish. Chiziqli differensial tenglamalar sistemasi. Chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar sistemasi yechimlarining xossalari

O’zgarmas koeffisientli chiziqli bir jinsli bo’lmagan tenglamalar sistemasi
O’zgarmas koeffisiyentli chiziqli bir jinsli bo’lmagan differensial tenglamalar sistemasini umumiy ko’rinishi


dan iborat, bunda o’zgarmas sonlar. esa ko’rilayotgan oraliqda aniqlangan va uzluksiz funksiyadir.

O’zgarmas koeffisientli chiziqli bir jinsli bo’lmagan tenglamalar sistemasi quyidagi ko’rinishda yozamiz

(1)

chiziqli bir jinsli bo’lmagan tenglamaning xususiy yechimini ham funksiyalar ko’rinishdagi funk­siya­larning yig’indisi, ko’paytmasi va ularning yig’indisidan iborat bo’lsa, noma’lum koeffisiyentlar usuli bilan qidirish mumkin. Albatta, bu yerda ham (ayrim o’zgarishlar bilan) xuddi o’zgarmas koeffisiyentli tenglamalardagidek ish qilinadi. Agar bo’­lib, – tartibli ko’phad bo’lsa, (1) tenglamaning xususiy yechimi ko’rinshda emas,

ko’rinishda qidiriladi, bu yerda tartibli, noma’lum koeffisiyentli ko’phad; agar harakteristik tenglamaning ildizi bo’lmasa agar harakteristik tenglamaning ildizi bo’lmasa, s sifatida bu ildizning karraligini olish kerak. (9) dagi noma’lum koeffisiyentlar (9) ifodani (8) tenglamaga qo’yib, o’xshash hadlar koeffisiyentlarini tenglashtirish yordamida topiladi.

funksiya va funksiyalarni o’z ichiga olgan bo’lib, harakteristik tenglamaning ildizi bo’lganda ham (9) ifodadagi ko’phadning tartibi yuqoridagiga o’xshash aniq­lanadi.

Misol. sitemani yeching.

Yechimi. bir jinsli sistemaning umumiy yechimini topib olamiz. Bu tenglamaning harakteristik tenglamasini tuzamiz:


Uning ildizlari va Demak, bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi



ko’rinishda bo’lar ekan.

Bizning misolimizda harakteristik tenglamaning bir karrali ildizi bo’lgani uchun, berilgan tenglamaning xususiy yechimini

ko’rinishda qidiramiz. Buni tenglamalar sistemasiga qo’yib va larni topish uchun tenglamalarga ega bo’lamiz:



Bu tenglamalardan



ifodalarni olamiz, shunday qilib, xususiy yechim



ko’rinishda, berilgan tenglamalar sistemasining umumiy yechimi esa



bo’lar ekan.