1-ma’ruza. Koordinatalar usuli. Reja: Tekislikdagi to’g’ri burchakli koordinatalar sistemasi

Masala: va koordinatalar orasidagi bog’lanishni topish.
Echish. 2-chizmadan ko’rinib turibdiki
. (2)
Aksincha, (2) dan
. (3)





Koordinatalar sistemasini burish. Endi “yangi koordinatalar sistemasi” deb, koordinata boshini o’zgartirmasdan, “eski koordinatalar sistemasi” ni burchakka burishga aytiladi (3-chizma), bu erda burchak musbat deyiladi, agar u soat strelkasiga teskari yo’nalishda bu’lsa, aks holda- manfiy.

nuqtaning radius-vektori ning u’qi bilan hosil qilgan musbat burchakni belgilaymiz; unda kesma o’q bilan musbat burchakni hosil qiladi. Bundan (1) formulaga asosan nuqtaning koordinatalari quyidagich bo’ladi

, (4)
, (5)
Bu erda . nuqtaning yngi koordinatalari quyidagiga teng bo’lganligi uchun
, ,
(4) va (5) formulalarni quyidagicha yozish mumkin
(6)
(6) formula nuqtaning eski koordinatalari va ni uning yangi va koordinatalari orqali ifodalaydi. Yangi va koordinatalarini uning eski koordinatalari va orqali ifodalash uchun (6) sistemani va larga nisbatan echish etarli. Biroq buning soddaroq usuli bor: buning uchun sistemani “eski” deb, sistemani esa yngi deb qabul qilamiz. U holda, ikkinchi sistema birinchisiga nisbatan burchakka burulganligini hisobga, (6) formulada mos ravishda va larni va almashtiramiz, hamda

tengliklarga asosan quyidagini hosil qilamiz
(7)
Boshqa koordinatalar sistemasiga o’tishning umumiy holi. Umumiy holda, yangi koordinatalar boshi nuqtada va o’q o’qi bilan tashkil etganda, (3) va (6) formulalarini birlashtirib quyidagini hosil qilaniz
(8)
Xuddi shuningdek, (2) va (7) formulalaridan
(9)
hosil bo’ladi.
(8) va (9) formulalaridan quyidagich xulosa qilamiz: bir to’g’ri burchakli koordinatalar sistemasidan ikkinchi to’g’ri burchakli koordinatalar sistemasiga o’tish formulalari mos ravishda yngi va eski kordinatalarning chiziqli funksiyalari bo’lar ekan, y’ni formulalardagi koordinatal birinch darajada qatnashadi.
3-misol. To’g’ri burchakli koordinatalar sistemasi parallel ko’chirilgan, uning kordinatalar boshi nuqtada. nuqtaning eski koordinatalari berilgan . Yangi sistemadagi koordinatalarini toping.
Echish. Misol shartiga ko’ra: (2) formuladan foydalanamiz. . Shunday qilib berilgan nuqtaning yngi sistemadagi koordinatasi (4-chizma).



4-misol. tekislikda nuqta berilgan. Koordinatalar sistemasi koordinata boshiga nisbatan shunday burulganki yangi o’qi nuqtadan o’tadi. Agar nuqtaning yangi koordinatalari berilgan bo’lsa, uning eski koordinatalarini toping.
Echish. Avvalam bore eski -abssisa o’qining burulbsh burchagini aniqlaymiz. . Endi (6) formulaga asosan Misol shartiga ko’ra bo’lgani uchun (5-chizma).

3.