1-maruza mashg`uloti. Kоmplеks sоnlаr maydonini qurish. Kompleks sonlar ustida amallar Qo’shmа kоmplеks sоnlаr. Kоmplеks sоnning gеоmеtrik tаsviri

Birning ildizlari

Har qanday noldan farqli kompleks son kabi 1 sonning ham n–darajali ildizi n ta qiymatga ega. bo’lganligi uchun 1 ning ndarajali ildizlari uchun , formula o’rinli.

1 ning ndarajali ildizi boshlang’ich ildiz deyiladi, agar u 1 ning n dan kichik darajali ildizi bo’lmasa. Boshqacha aytganda,  son 1 ning ndarajali boshlang’ich ildizi bo’ladi, agar bo’lib, istagan uchun bo’lsa. sonning 1 ning ndarajali boshdang’ich ildizi bo’lishi ravshan, lekin n > 2 bo’lgandan undan boshqa boshlang’ich ildizlar ham mavjud.
1-m i s o l. ( -butun sonlar) son 1 ning darajali boshlang’ich ildizi bo’lishini ko’rsating, bu yerda d son k va n larning eng katta umumiy bo’luvchisidan iborat. Bu yerdan kelib chiqadiki,  son 1 ning ndarajali boshlang’ich ildizi bo’lishi uchun k va n larning o’zaro tub bo’lishi zarur va yetarlidir.
Yechish. bo’lsin, bu yera n₁ va ₁ o’zaro tub sonlar. U holda .  ni darajaga ko’tarib, ni hosil qilamiz.
Agar bo’lsa, u holda , bunda yoki , ya’ni son ga bo’linadi. Lekin va o’zaro tub. Shuning uchun m son ga bo’linadi, bu esa 0 < m < shartga zid.
Shunday qilib, 0 < m < bo’lganda . m = bo’lganda esa . Bu yerdan  - son 1 ning darajali boshlang’ich ildizi ekanligi kelib chiqadi. ■
Bu misoldan ko’rinadiki, 1 ning n-darajali boshlang’ich ildizlari soni n dan kichik va n bilan o’zaro tub bo’lgan sonlar soniga, ya’ni Eyler funksiyasining qiymatiga tengdir.
ko’phad, bu yerda ( ) - 1 ning boshlang’iya ildizi, doiraviy ko’phad deyiladi.
2-m i s o l. Birning 6-darajali ildizlarini toping.
Yechilishi: 1 ning n-darajali ildizlari formulasidan:

ni hosil qilamiz. Natijada, izlanayotgan ildizlar quyidagilardan iborat bo’ladi:
, ,
, ,
, . ■
Agar 1 ning n-darajali ildizi 1 ning  darajali boshlang’ich ildizi bo’lsa,  son bu ildiz tegishli bo’lgan ko’rsatkich deyiladi.
3-m i s o l. Birning 6-darajali boshlang’ich ildizlarini yozing.
Yechish. 1-misolga ko’ra birning 6-darajali boshlang’ich ildizlari lardan, ya’ni lardan iborat. ■
4-m i s o l. tenglamani algebraik yo’l bilan yechib, 1 ning 5-darajali ildizlarini toping.
Yechish. Tenglamaning chap tomonini ko’paytuvchilarga ajratamiz:
.
Boshlang’ich ildizlar quyidagi tenglamaning ildizlari bo’ladi:
.
Bu tenglama tenglamaga teng kuchli. belgilash kiritamiz. bo’lishini e’tiborga olsak, tenglama hosil bo’ladi, bundan , .
1 ning ildizlari va tenglamalardan topiladi. Bulardan va . z₁ va z₂ larning qiymatlarini qo’yib,
, , ,
larni hosil qilamiz.
Bularni formula bilan taqqoslab ni hosil qilamiz.
Bundan r radiusli doiraga ichki chizilgan muntazam o’nburchakning tomoni a₁₀ uchun formula keltirib chiqariladi:
.■
5-m i s o l. Birning 7 ko’rsatkichga tegishli bo’lgan 28-darajali ildizlarini yozing.
Yechish. Ma’lumki, 1 ning 28-darajali ildizlari
,
lardan iborat. Bulardan 7 ko’rsatkichga tegishli bo’lganlari

lardir yoki ularni quyidagicha yozish mumkin:
. ■
6-m i s o l. ni haqiqiy koeffisiyentli ko’paytuvchilarga ajrating.
Yechish. bo’lsin, u holda tenglama ikkita 1, -1 haqiqiy ildizlarga va ta kompleks ildizlarga ega.
Bunda ildiz

ildizga qo’shma.
Shunday qilib,
;
;
.
ni hosil qilamiz.
Agar n = 2m+1 bo’lsa, shunga o’xshash yo’l bilan

ni hosil qilamiz. ■
7-m i s o l. Tenglikni isbotlang:
.
Yechish. 6-misolning natijasiga ko’ra:


ni hosil qilamiz.
x = 1 ni qo’yib, yoki va nihoyat ni hosil qilamiz. ■
8-m i s o l. Tenglamani yeching: .
Yechish. Tenglamani shaklda yozish mumkin.
Bundan , bu yerda . U holda bo’ladi. Bu ifodani soddalashtiramiz
.
Shunday qilib, .■
9-m i s o l. Agar a va b o’zaro tub sonlar bo’lsa, 1 ning ab- darajali ildizlari 1 ning a-darajali va b-darajali ildizlarining ko’paytmasidan iborat bo’lishini isbotlang.
Yechish. va mos ravishda 1 ning a-darajali va b-darajali ildizlari bo’lsin, bunda ; .
Avvalo 1 ning a-darajali ildizining b-darajali ildiziga ko’paytmasi 1 ning ab darajali ildizi bo’lishini ko’rsatamiz. Haqiqatan, bo’lsin. U holda .
Endi larning har xil bo’lishini ko’rsatish yetarli. Faraz qilaylik, . U holda , ya’ni . 13-masalaga ko’ra, =1, ya’ni , . ■
10-m i s o l. Tenglamani yeching
.
Yechish.
,

bo’lsin.
U holda , , bu yerda . Bulardan Tenglama ko’rinishga keladi. Bu tenglamani yechib,

ni hosil qilamiz. ■

Tаkrоrlаsh uchun sаvоllаr:

1. 
   Hаqiqiy sоnlаr mаydоnining kеngаytmаsini quring.
   
2. 
   Kоmplеks sоn qаndаy hоsil qilingаn?
   
3. 
   Kоmplеks sоnlаr ustidа аrifmеtik аmаllаrni аniqlаng.
   
4. 
   Kоmplеks sоnlаr to’plаmi mаydоn tаshkil etishini isbоtlаng.
   
5. 
   Kоmplеks sоnning qo’shmаsi хоssаlаrini isbоtlаng.