1-maruza mashg`uloti. Kоmplеks sоnlаr maydonini qurish. Kompleks sonlar ustida amallar Qo’shmа kоmplеks sоnlаr. Kоmplеks sоnning gеоmеtrik tаsviri

Nyuton binom formulasini qo’llab, quyidagini hosil qilamiz:

chunki . Mos ravishda haqiqiy va mavhum qismlarini tenglashtirib,

munosabatlarni hosil qilamiz. Bulardan
.
Bu yerda biz kasrning surat va maxrajini ga bo’ldik. ■
6-m i s o l. ni kaðrali argumentlarning trigonometrik funksiyalari orqali chiziqli ifodalang.
Yechish. bo’lsin, u holda , , ,
, , , .
Bularga ko’ra

= ■
Xuddi shunga o’xshash yo’l Bilan istalgan ifodani karrali argumentning trigonometrik funksiyalari orqali chiziqli ifodalash mumkin.

Yig’indi va ko’paytmalarni kompleks
sonlar yordamida hisoblash

1-m i s o l. Ayniyatni isbotlang:

.
Yechish. Nyuton binomini qo’lab quyidagi tengliklarni hosil qilamiz:

.
Bu tengliklarni hadlab qo’shib, undan keyin ayirib, kerakli ayniyatni hosil qilamiz. ■
2-m i s o l. Ayniyatni isbotlang:
.
Yechish. Quyidagi tenglikni qaraymiz:
.
Bu tenglikga ketma-ket x = 1, larni qo’yamiz, bu yerda . Natijada quyidagi tengliklar hosil bo’ladi:

Lekin k son 3 ga bo’linmaganda , k son 3 ga bo’linganda esa bo’ladi. Shuning uchun yuqoridagi tengliklarni hadlab qo’shib,

tenglikni hosil qilamiz.
deb olish mumkin bo’lganligi uchun

Shuning uchun . Bu yerdan
. ■
3-m i s o l. Tenglikni isbotlang:

.
Yechish. bo’lganligi uchun .
Shuning uchun .
Bundan yuqoridagi ayniyat kelib chiqadi. ■
4-m i s o l. Yig’indini hisoblang:
Yechish. ifodani qaraymiz. Bundan
.
Lekin . Shuning uchun
.
Bu yerdan n = 4m bo’lganda , n = 4m+1 bo’lganda , n = 4m+3 bo’lganda , n = 4m+2 bo’lganda bo’lishi kelib chiqadi. ■
5-m i s o l. Ayniyatni isbotlang:

Yechish. Quyidagi ko’phadni qaraymiz:
.
Bundan
(*).
Bu tenglikka x = 1 ni qo’yib, izlanayotgan ayniyatni hosil qilamiz. ■
6-m i s o l. Ayniyatni isbotlang:
.
Yechish. Tenglikning chap tomonidagi ifoda

ko’phaddagi xⁿ oldidagi koeffisiyentdan iborat. Bu ko’phadni quyidagicha almashtiramiz:

kvadrat qavs ichidagi ko’phadda oldidagi koeffisiyent ga teng bo’ladi. ■
7-m i s o l. tenglik o’rinli bo’lishini ko’rsating.
Yechish. Quyidagi ko’phadlarni qaraymiz:
, .
U holda: tenglikdan talab qilinayotgan tenglik kelib chiqadi. ■
8-m i s o l. Ayniyatni isbotlang:
.
Yechish. ko’paytmani qaraymiz. Bu ko’paytmani quyidagicha yozish mumkin: .
Bu yerdan .
Natijada, . ■
9-m i s o l. Tenglikni isbotlang:
.
Yechish. tenglikda
deb olamiz. U holda ,
.
Bundan . Ikkinchi yig’indida deb olamiz. U holda bu yig’indi quyidagi ko’rinishga keladi:

.
Shunday qilib, .
Lekin . Shuning uchun
. ■
10-m i s o l. Tenglikni isbotlang:
.
Yechish. yig’indini kiritamiz. U holda isbot qilinayotgan tenglikning chap tomonini B orqali belgilab

ni hosil qilamiz.
Bu geometrik progressiya hadlarining yig’indisidan iborat. Quyidagi belgilashni kiritamiz: . U holda
.

Oxirgi kasrning surat va maxrajida  ning shunday darajalarini qavsdan tashqariga chiqaramizki, qavs ichida  ning qarama-qarshi ko’rsatkichli darajalarining ayirmasi qolsin (buning mumkin bo’lishi uchun biz ni emas ni belgilardik):

Bu yerdan ni va bir vaqtda
ni hosil qilamiz. ■
Xuddi shunday
va
yig’indilarni ham hisoblash mumkin, agar argumentlar arifmetik progressiyani, koeffisiyentlar esa gometrik progressiyani tashkil etsa.