1-maruza mashg`uloti. Kоmplеks sоnlаr maydonini qurish. Kompleks sonlar ustida amallar Qo’shmа kоmplеks sоnlаr. Kоmplеks sоnning gеоmеtrik tаsviri

1-maruza mashg`uloti.
Kоmplеks sоnlаr maydonini qurish. Kompleks sonlar ustida amallar Qo’shmа kоmplеks sоnlаr. Kоmplеks sоnning gеоmеtrik tаsviri

1. 
   Kоmplеks sоnning gеоmеtrik tаsviri
   

Algebraik shakldagi kompleks sonlar
Kompleks son deb haqiqiy sonlarning tartiblangan juftligiga aytiladi. (a, o) kompleks sonni haqiqiy sondan farqlamaydilar. Barcha kompleks sonlar to’plamini S orqali belgilanadi. (a,b) va (c,d) juftliklar ularning mos koordintalari teng bo’lgandagina teng deyiladi, ya’ni

Kompleks sonlarni qo’shish va ko’paytirish amallari quyidagi tengliklar yordamida kiritiladi
(a, v)+(c, d) = (a+c, b+d),
(a, b)×(c, d) = (ac-bd, ad+ bc)
(0,1) kompleks soni i harfi orqali belgilash va uni mavhum bir deb atash qabul qilingan. i² + 1 = 0 bo’lishini ko’rsatish qiyin emas, ya’ni i soni x² + 1 = 0 tenglamaning ildizi bo’ladi.
Har qanday z kompleks sonni a + bi algebraik shaklda yozish mumkin. Agar z = a + bi bo’lsa, a son z kompleks sonning haqiqiy qismi dyiladi va Re z orqali belgilanadi, b son esa z kompleks sonning mavhum qismi deyiladi va Im z orqali belgilanadi. z = a - bi kompleks son, z = a + bi kompleks sonning kompleks qo’shmasi deyiladi.
Agar a = c, b = d bo’lsa a + bi va c + di kompleks sonlar teng deyiladi.
Algebraik shakldagi kompleks sonlar ustida arifmetik amallar quyidagi tengliklar yordamida aniqlanadi:
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,
(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i,
(a + bi) (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i,
(c+di ¹ 0, ya’ni s²+d² ¹ 0).
Boshqacha aytganda, agar i² = -1 ekanligini hisobga olinsa, kompleks sonlar ustida barcha arifmetik amallar haqiqiy sonlar ustidagi xuddi shunday amalar kabi bajaradi.
Agar kompleks sonlarning yig’indisi, ayirmasi, ko’paytmasi va bo’linmasidagi barcha sonlarni ularning kompleks-qo’shmasiga almashtirilsa, natija ham o’zining qo’shmasiga almashadi:
, , ,
Kompleks sonni darajaga ko’tarish amali quyidagicha aniqlanadi:
.
Agar z ¹ 0 bo’lsa: deb qabul qilinadi.
Kompleks sonning butun ko’rsatkichli darajasi quyidagi xossalarga ega:

Kompleks son z ning n-darajali ildizi deb shunday kompleks songa aytiladiki, .
1-m i s o l. Quyidagi tenglamadan x va y haqiqiy sonlarni toping:
( 5 x – 3 y ) + ( x – 2 y ) I = 6 + ( 8 – x + y ) i.
Yechish. Kompleks sonlarning tenglik shartidan foydalanib,

sistemani hosil qilamiz. Bu sistemadan x va y noma’lumlarni topamiz: . ■
2-m i s o l. i ning darajalarini toping.
Yechish. Ta’rifga ko’ra i⁰ = 1, i¹ = i va i² = -1. Shuning uchun
i ³ = i²i = -i, i⁴ = i³ i = 1, i⁵ = i⁴×i = i.
Umuman olganda: i⁴ⁿ = 1, i⁴ⁿ⁺¹ = i, i⁴ⁿ⁺² = -1, i⁴ⁿ⁺³ = - i, nÎN. ■
3-m i s o l. Darajaga ko’taring: (1+ i)²⁰, (1- i)²¹.
Yechish. Bu masalani Nyuton binomi formulasidan foydalanib hal qilsa bo’ladi, lekin uni quyidagicha yozish qulayroq:
(1+ i)² = 2i, (1- i)² = -2i. U holda

■
Kompleks koeffisiyentli istagan kvadrat tenglamani yechish uchun, avvalo kompleks sonning kvadrat ildizini topa olish kerak. Ta’rifga ko’ra x+yi son a+bi sonning kvadrat ildizi bo’lishi:
(x + yi)² = a + bi (*)
tenglikning bajarilishiga teng kuchli.
(*) tenglik quyidagi formulalar yordamida topiladigan ikkita har xil yechimlarga ega bo’ladi:
,
bu yerda radikal arifmetik ildizni bildiradi, agar b> 0 bo’lsa, x va y larning ishoralari bir xil qilib, b < 0 bo’lganda esa har xil qilib tanlanadi.
4-m i s o l. ildizning qiymatlari 5 - i va -5 + i bo’ladi.■
Kvadrat ildizni to’g’ridan to’g’ri topish ham mumkin.
5-m i s o l. Ildizdan chiqaring:
Yechish. bo’lsin. Ildizning ta’rifiga ko’ra
(x + yi)² = 5 + 12i yoki (x² - y²) + 2 x y i = 5 + 12i,
bundan

sistemani hosil qilamiz.
Bu sistemadagi ikala tenglikni kvadratga ko’tarib va ularni qo’shib, (x² + y²)² = 25 + 144 va x² + y² = 13 larni hosil qilamiz.
U holda sistemadan x va y noma’lumlarni topamiz:
x = ±3, y = ±2.
Oldingi sistemaning ikkinchi tenglamasidan x va y larning bir xil ishorali bo’lishi kelib chiqadi. Shuning uchun x₁ = 3, y₁ = 2; x₂ =-3,
y₂ =-2. Shunday qilib, ildiz ikkita 3 + 2i va -3 - 2i qiymatlarga ega.■
Endi kompleks sonning kvadrat ildizini topishni bilgan holda aynan maktab matematika kursidekdagi kompleks koeffisiyentli
ax² + bx + c = 0
tenglamaning ildizlari

formula yordamida topilishini ko’rsatish mumkin.
6-m i s o l. (3 - i)x² - 2(2 - 3i)x - 4i = 0 kvadrat tenglamaning ildizlari x₁ = 0,4 - 0,8i va x₂ = 0,2 - 1,4i sonlardan iborat. ■