1-ma’ruza Mavzu: Cheksiz kо‘paytmalar. Yaqinlashuvchi va uzoqlashuvchi cheksiz

5.Shartli yaqinlashuvchi kо‘paytmalar. Golomorf funksiyalarni cheksiz 
kо‘paytmalar yordamida ifodalash. 
Yuqorida isbotlangan teorema bizni har qanday absolyut yaqinlashuvchi 
kо„paytma yaqinlashuvchi kо„paytmadan iborat degan xulosaga olib keladi. 
Teskari tasdiqni о„rinli deyish xato bо„lar edi, ya‟ni shunday yaqinlashuvchi 
kо„paytmalar borki, ular absolyut yaqinlashuvchi kо„paytma bо„lmaydi. Bunday 
kо„paytmalarni shartli yaqinlashuvchi kо‘paytmalar deyiladi.
Shartli yaqinlashuvchi kо„paytmaga misol keltiramiz. Ushbu kо„paytma 

---

(
) (
) (
) (
) (
)
ni qaraymiz. Bu yerda 
{
bо„lgani uchun
va qaralayotgan kо„paytma yaqinlashuvchi. 
Ikkinchi tomondan esa
(8′) 
qator uzoqlashuvchi bо„lgani uchun ham qaralayotgan kо„paytma absoyut 
yaqinlashuvchi emas. 
Golomorf funksiyalarni cheksiz kо‘paytmalar yordamida ifodalash. 
Bizga
(9) 
cheksiz kо„paytma berilgan bо„lsin. Bu kо„paytmadagi barcha
lar biror
sohadagi golomorf funksiyalar va (9) dagi barcha kо„paytuvchilar 
sohaning 
ixtiyoriy 
nuqtasida noldan farqli. ning sohadagi ixtiyoriy qiymatida
|
|
(10) 
tengsizlik о„rinli deb qaraymiz va sonli qator 
(11) 
yaqinlashuvchi bо„lsin. Bu holda yuqorida isbotlanganiga asosan (9) kо„paytma
sohaning ixtiyoriy 
nuqtasida yaqinlashuvchi va u sohaning birorta ham
nuqtasida nolga aylanmaydigan kompleks о„zgaruvchining biror funksiyasini 
ifodalaydi.
funksiyasining sohadagi golomorf funksiya ekanligini 
isbotlaymiz. 
Haqiqatan ham buning uchun
deb olsak, Veyershtrassning 1-teoremasiga kо„ra 
sohadagi golomorf funksiyalar 
ketma-ketligining shu sohada funksiyaga tekis yaqinlashishini 
kо„rsatishimiz yetarli bо„ladi. 

---

( Har bir hadi biror
sohada analitik funksiya bо„lgan
cheksiz qator berilgan bо„lsin.
qator sohaning har bir nuqtasida 
yaqinlashuvchi bо„lsin. Uning yig„indisini orqali belgilaylik. Qanday shartda 
analitik funksiyalarning yaqinlashuvchi qatorining yig„indisining о„zi ham analitik 
funksiya bо„ladi?
Bunday shart 
qatorning sohada (yoki hech bо„lmaganda sohaga 
tо„liq tegishli bо„lgan
̅̅̅ yopiq sohada) tekis yaqinlashuvchi bо„lishlik shartidir. 
Bunga ikkita qismdan iborat bо„lgan quyidagi Veyershtrass teoremasi javob 
beradi.