1-ma’ruza Mavzu: Cheksiz kо‘paytmalar. Yaqinlashuvchi va uzoqlashuvchi cheksiz

Teorema. Agar
(4) 
qator absolyut yaqinlashuvchi bо„lsa, u holda
∏
(5) 
kо„paytma ham yaqinlashuvchi bо„ladi. 
Isboti. Teoremaning shartiga kо„ra (4) qator absolyut yaqinlashuvchi, ya‟ni 
| 
| | 
| | 
| qator yaqinlashuvchi. Shuning uchun ham 
| 
| va biz umumiylikni chegaralamagan holda | 
|
deb olishimiz mumkin. 
Avvalo 
haqiqiy son bо„lsin. U holda
|
| | 
| | 
|
| 
|
| 
| | 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
| | 
| | 
|
| 
|  
Bu yerdan 
ketma-ketlikning yaqinlashishi kelib chiqadi. Haqiqatan ham
|
| | 
| | 
| | 
|
О„ng tomondagi qator shartga kо„ra yaqinlashuvchi va demak, chap tomoni ham 
yaqinlashuvchi bо„ladi. Bundan esa (5) ning xususiy kо„paytmalaridan tuzilgan 

---

ketma-ketlikning yaqinlashuvchi va (5) ning ham yaqinlashuvchi ekanligi kelib 
chiqadi. 
Endi
-ixtiyoriy kompleks son bо„lsin. Bu holda ikkita 
haqiqiy sonlar ketma-ketliklari 
|
| |
| |
| |
| (6) 
(7) 
ning yaqinlashuvchi ekanliklarini kо„rsatishimiz kerak. 
Tushunarliki (6) ning yaqinlashuvchi bо„lishi uchun |
|
ketma-ketlikning yaqinlashuvchi bо„lishi zarur va yetarlidir. Bu yerda
|
|
|
|
; 
 
 va | 
| | 
|
| 
| 
bо„lgani uchun | 
|
ning yaqinlashishi yuqorida isbotlanganidan kelib chiqadi.
(7) ning yaqinlashishi esa yetarlicha katta 
va 
lar uchun 
|
| |
√
|
√
| 
| 
tengsiizlikning о„rinli ekanligidan keldib chiqadi. 
kо„paytmada barcha
larni bir xil ishorali haqiqiy sonlar deb hisoblab
∑
qatorning yaqinlashuvchi bо„lishligi yuqoridagi kо„raytmaning 
yaqinlashuvchi bо„lishligining yetarli sharti bо„libgina qolmasdan balki uning 
yaqinlashishining zaruriy sharti ham bо„lishini osonlik bilan kо„rsatish mumkin. 
Haqiqatan ham, agar
sonlari musbat va qaralayotgan kо„paytma 
yaqinlashuvchi bо„lsa, u holda
sonlar ketma-
ketligi о„sib borib biror musbat о„zgarmas son dan kichik bо„lib qolaverishi 
kerak. 
ning ifodasidagi qavslarni ochib biz 
yig„indining ham
ning qanday bо„lishidan qat‟iy nazar dan kichik bо„lishi kerak ekanligini 
kо„ramiz. Bu esa ∑
qator yaqinlashuichi deganidir. 

---

Agar
sonlari manfiy bо„lsalar, u holda ∑
qatorni 
uzoqlashuvchi deb olib ∏
kо„paytmaning ham uzoqlashuvchi 
ekanligini kо„rsatamiz. 
Haqiqatan ham, 
ning cheksiz о„sishi bilan
ifoda ga intiladi. Chunki umumiy hadi
bо„lgan qator uzoqlashuvchi (biz bu yerda ning biror qiymatidan boshlab
deb hisoblaymiz, aks holda
sonlari orasida cheksiz kо„p musbat va 
manfiylari bо„lgani uchun kо„paytmanig uzoqlashuvchi ekanligi о„z-о„zidan 
tushunarli bо„ladi). Bu yerdan ning cheksiz о„sishi bilan
ning nolga intilishi 
kelib chiqadi va demak, bizning kо„paytmamiz uzoqlashuvchi. 
Agar 
| 
| | 
| | 
| (5′) 
kо„paytma yaqinlashuvchi bо„lsa,
(5) 
kо„paytmani absolyut yaqinlashuvchi deb atashga shartlashib olamiz.
Isbotlanganiga asosan (5′) cheksiz kо„paytmaning yaqinlashishi
|
| | 
| | 
| (8) 
qatorning yaqinlashishiga ekvivalent. Shunday qilib absolyut yaqinlashuvchi 
kо„paytma (5)ni bizning aniqlashimizda (5′) kо„paytmaning yaqinlashuvchi 
bо„lishlik talabini (8)- qatorning yaqinlashuvchi bо„lishlik talabi bilan almashtirish 
mumkin.