1-ma’ruza: Pedagogika otmda geometriyani o’qitish nazariy masalalari: Evklidga qadar geometriya. Evklidning “Negizlar” asari. Evklidning V postulati va uni isbotlashga urinishlar. Evklid va Lobachevskiy geometriyalari qiyosiy tahlili

Masala: Bir kateti va ikkinchi katetiga o`tkazilgan medianasi berilgan to`g`ri burchakli uchburchak yasang.


ANALIZ. Izlanuvchi uchburchak topildi deb faraz qilib, uni taxminan chizib qo`yaylik. 3.1 chizmadagi ABC-izlanuvchan ucburchak va uning berilgan elementlari BC=<sub> </sub> BD=m va burchak C= <sub> </sub> bo`lsin. Bu uchburchakni yasash uchun uning A, B va C uchlarini toppish kerak. BC=_{ } tomoni berilgani uchun uning B va C uchlari ma`lum. A uchi uchburchak AC va AB tomonlarning kesishish nuqtasi bo`lsa ham bu tomonlar noma`lum bo`lgani uchun ular yordamida A nuqtani bevosita topib bo`lmaydi. Shuning uchun to`g`ri burchakli uchburchak BCD ni qaraymiz. Uning BC kateti, BD gipotenuzasi va burchak C= <sub> </sub> berilgani uchun uni yasash mumkin. Berilishiga ko`ra BD kesma median abo`lgani uchun, AD=CD. Shunung uchun uchburchak BCD ning CD kateti davomida unga teng kesma olib, A nuqtani olish mumkin. So`ngra A va B nuqtalarni tutshtirsak, uchburchak ABC hosil bo`ladi.
3.1-Chizma.
Demak, masala shartida berilganlar bo`yicha to`g`ri burchakli uchburchak BCD ni yasab uning yordamida izlanuvchi uchburchak ABC ga o`tish mumkin ekan. Masala yechishda foydalanilgan uchburchak BCD yordamchi figura bo`ladi.
Yechimning yasash, isbotlash va tekshirish bosqichlari o`z- o`zidan ravshan bo`lgani uchun ular ustida to`xtashga ehtiyoj yo`q.
2-Masala: Parallelogramni uning bir uchidan chiquvchi ikki to`g`ri chiziq bilan uchiga tengdosh bo`lakka bo`ling.
ANALIZ. Berilgan parallelogram ABCD va masalaning talabiga javob beruvchi to`g`ri chiziqlar AX va AY (2.2 chizma) deb faraz qilaylik ( X va Y to`g`ri chiziqlarning parallelogram tomonlari bilan kesishish nuqtalari). Masala shartiga muvofiq


_{ }AB_{ }=□AXC_{ } =△BY_{ }
Yoki _{ }= _{ }=_{ } (1)
Izlanuvchi to`g`ri chiziqlarni topish uchun X va Y nuqtalarni topish kifoya. Bu nuqtalarni topishda ularning parallelogram tomonlarida yotishidan va AC dioganal parallellogrammni ikkita teng uchburchakka bo`lishidan foydalanamiz.
3.2– Chizma.
Chizmadan:
△ AB_{ } = △ AD_{ } yoki


_{ } + _{ } = _{ } + _{ } (2)
Bundan (1) ga asosan _{ } = <sub> 


 </sub> + _{ } = _{ } bo`lgani uchun:
_{ } = _{   } = _{ } (3)

_{ } = _{   } = _{   } (4)
Parallellogrammning A uchidan BC- tomoniga o`tkazilgan balandlikni h bilan belgilab, uchburchaklar yuzlari uchun quyidagi ifodalarni yoza olamiz:


_{ }= _{ } BX _{ } h ; _{ } = _{ } CX _{ } h.
Bu ifodalarni _{ } = _{   } tenglikka qo`ysak:


_{ } CX _{ } h = _{ } ( _{ } BX _{ } h )
Bundan esa:
CX = _{ } BX. (5)
Xuddi shu yo`l bilan CY = <sub> </sub> DY ekanligi aniqlanadi. Bulardan quyidagilar ma`lum bo`ladi:
CX = <sub> </sub>BC, CY = <sub> </sub> CD (6)
2.3-chizma
Demak, izlanuvchi to`g`ri chiziqlarni aniqlashda yordam beruvchi X va Y nuqtalarni topish uchun berilgan parallellogrammning CB va CD tomonlarini teng uch bo`lakka bo`lish kerak. Bundagi X va Y nuqtalar yordamchi figura bo`ladi.
YASASH. Berilgan ABCD parallellogramning CB va CD tomonlarini har birini teng uch bo`lakka bo`lamiz. C uchidan boshlab hisoblanganda tomonning uchdan bir bo`lagini ko`rsatuvchi nuqtalar izlangan X va Y nuqtalar bo`ladi.
So`ngra parallellogramning A uchini topilgan X va Y nuqtalar bilan tutashtiramiz; AX va AY to`g`ri chiziqlar parallellogrammni izlangan tengdosh bo`laklarga bo`ladi.