1-ma’ruza: Pedagogika otmda geometriyani o’qitish nazariy masalalari: Evklidga qadar geometriya. Evklidning “Negizlar” asari. Evklidning V postulati va uni isbotlashga urinishlar. Evklid va Lobachevskiy geometriyalari qiyosiy tahlili

Pozitsion masala. To’liq va noto’liq tasvirlar.
Asosiy tekislik usuli.
Fazoviy figuralarning tasvirini yasash uchun N. F. Chetveruxin tomonidan taklif qilingan asosiy tekislik usuli deb ataluvchi metoddan foydalanamiz. Bu metod aksonometrik proyeksiyalash usulining bir turidir.
Bu metod bilan tanishib chiqaylik. Fazoda birorta _{ } tekislikni ajratib, uni asosiy tekislik deb ataymiz. Biror yo’nalishni tanlab olib, _{ } fazo nuqtalarini _{ } tekislikka parallel proyeksiyalab, _{ } tekislikda _{ } nuqtalarni hosil qilamiz. Bu proyeksiyalash ichki proyeksiyalash deb ataladi (ichki proyeksiyalash markaziy proyeksiyalash ham bo’lishi mumkin).
Keyin rasm (tasvir) tekisligi deb ataluvchi tekislik olib, _{ } proyeksiyalarini, _{ } proyeksiyalovchi to’g’ri chiziqlarni biror yo’nalish bo’yicha biror tekislikka parallel proyeksiyalaymiz.
Natijada, rasm tekisligida 8-chizmada ko’rsatilganidek tasvirlarga ega bo’lamiz. Bu yerda _{ } tekislik _{ } tekislikning, _{ } nuqtalar _{ } nuqtalarning, _{ } nuqtalar _{ } nuqtalarning, _{ } to’g’ri chiziqlar proyeksiyalovchi _{ } to’g’ri chiziqlarning tasvirlaridir.

8-chizma.


_{ } nuqtalarning _{ } nuqtalarning ikkinchi proyeksiyalari (tasvirlari) deb aytiladi, ba’zi hollarda _{ } nuqtalarni _{ } nuqtalarning asoslari deb ham aytiladi.
Agar fazodagi birorta _{ } nuqtaning rasm tekisligidagi tasviri _{ } va uning ikkinchi proyeksiyasi _{ } berilsa, nuqta rasm tekisligida berilgan deb aytiladi va _{ } ko’rinishda yoziladi.
Fazoda ikkita nuqtasi bilan aniqlangan _{ } to’g’ri chiziq berilgan bo’lsin.
Agar rasm tekisligida _{ } va _{   } lar berilgan bo’lsa, to’g’ri chiziq rasm tekisligida berilgan deb aytiladi va _{ } ko’rinishda yoziladi.
Ixtiyoriy tekislik bir to’g’ri chiziqda yotmaydiga uchta _{ } nuqtalarning berilishi bilan, yoki kesishadigan _{ } to’g’ri chiziqlarning berilishi bilan, yoki parallel _{ } to’g’ri chiziqlarning berilishi bilan aniqlanadi _{ } (9-chizma).
9-chizma.
Agar tekislikni aniqlovchi elementlarning rasm tekisligidagi tasvirlari va ikkinchi proyeksiyalari berilgan bo’lsa, tekislik rasm tekisligida berilgan deyiladi va _{ } ko’rinishda yoziladi.
Agar _{ } va _{ } parallel bo’lsa, ularning _{ } va _{ } tasvirlari va ikkinchi proyeksiyalari _{ } va _{ } ham parallel bo’ladi (9-chizma).
Agar _{ } va _{ } to’g’ri chiziqlar ayqash bo’lsa, ularning tasviri 10-chizmada ko’rsatilganidek bo’ladi.
10-chizma.
Fazodagi _{ } figuralarning rasm tekisligida _{ } tasvirlari berilgan bo’lsin. _{ } figuralarning kesishish nuqtasining tasvirlarini yasash masalasi pozitsion masala deb aytiladi. Bunday masalalar asosiy tekislik yoki aksonometrik metod yordamida oson yechiladi.
Agar figuraning har bir nuqtasi rasm tekisligida berilgan bo’lsa, u holda bu figura tasvirini to’liq tasvir deb aytiladi. Aks holda noto’liq tasvir deyiladi.
To’liq tasvir ta’rifidan quyidagi natijalar kelib chiqadi:

1. 
   
   yassi figuralarning tasviri hamma vaqt to’liq;
   
2. 
   
   agar tasvirning hamma elementlari aniqlangan bo’lsa, tasvir to’liq bo’ladi;
   
3. 
   
   to’liq tasvirning ixtiyoriy ikki tekisligini asosiy tekisliklar deb olish mumkin.
   

Endi to’liq tasvirlarda pozitsion masalalarni yechishga o’tamiz:
1-masala. _{ } to’g’ri chiziqning _{ } tekislik bilan kesishgan nuqtasini yasang.


_{ } to’g’ri chiziq bilan uning _{ } proyeksiyasi kesishgan _{ } nuqta izlangan nuqta bo’ladi (11-chizma).
11-chizma.
2-masala. _{ } tekislikning _{ } tekislik bilan kesishgan chizig’ini (_{ } tekislikning _{ } tekislikdagi izini) yasang.
Bu masalani yechish birinchi masalaga keltiriladi. _{ }, _{ } nuqtalar yasab, izlangan _{ } to’g’ri chiziqni topamiz (12-chizma).

12-chizma.

3-masala. _{ } va _{ } tekisliklarning kesishgan chizig’ini yasang.

Tekisliklarning kesishgan to’g’ri chizig’ini yasash uchun bu tekisliklarga tegishi ikkita _{ }, _{ } nuqtalarni yasash yetarli. Asosiy tekislikdagi _{ } nuqta orqali _{ }, _{ }, _{ } to’g’ri chiziqlarni mos ravishda _{ }, _{ }, _{ } nuqtalarda kesadigan to’g’ri chiziqni o’tkazamiz. Bu nuqtalar mos ravishda _{ }, _{ }, _{ } to’g’ri chiziqlarda yotuvchi 4, 5, 6 nuqtalarning asoslaridir. _{ } va _{ } to’g’ri chiziqlar _{ } nuqtada kesishadi (chunki u to’g’ri chiziqlar _{ } va _{ } to’g’ri chiziqlar yordamida aniqlangan tekislikda yotadi). _{ } nuqta _{ } va _{ } tekisliklarning har ikkalasida yotadi. Shunga o’xshash _{ } nuqtani topamiz. _{ } izlangan to’g’ri chiziq (13-chizma).
13-chizma.
4-masala. _{ } tekislik bilan _{ } to’g’ri chiziqning kesishish nuqtasini yasang.

_{ }, _{ } – nuqtalar mos ravishda _{ }, _{ } to’g’ri chiziqlarda yotuvchi 1 va 2 nuqtalarning asoslari. _{ } va _{ } to’g’ri chiziqlar _{ }, _{ } to’g’ri chiziqlar bilan aniqlangan proyeksiyalovchi tekislikda yotadi, ular izlangan _{ } nuqtada kesishadi. Uning asosi _{ } nuqta _{ } to’g’ri chiziqda yotadi (14-chizma).
14-chizma.
Shunday qilib barcha pozitsion masalalar bir qiymatli yechiladi. Rasm tekisligida fazoviy figura elementlarining tasviri va ikkinchi proyeksiyasining (asosining) berilishi sharti yetarli shart bo’lib qolmasdan, zaruriy shart ham ekanligini ko’rish qiyin emas.