1-ma’ruza: Pedagogika otmda geometriyani o’qitish nazariy masalalari: Evklidga qadar geometriya. Evklidning “Negizlar” asari. Evklidning V postulati va uni isbotlashga urinishlar. Evklid va Lobachevskiy geometriyalari qiyosiy tahlili

2.2-teorema. Lobachevskiy tekisligida uchburchak ichki burchaklari yig’indisi _{ } dan kichik.

2.3-teorema. Agar uchburchak ichki burchaklarining yig’indisi _{ } dan kichik bo’lsa, Lobachevskiy aksiomasi o’rinli bo’ladi.

I sbot. _{ } kesmaning uchlaridan shu kesmaga perpendikulyar bo’lgan _{ }, _{ } to’g’ri chiziqlarni o’tkazamiz. Absolyut geometriyadan ma’lumki, _{ }, _{ } to’g’ri chiziqlar kesishmaydi. _{ } nuqtadan o’tib, _{ } dan farqli _{ } bilan kesishmaydigan yana bitta to’g’ri chiziqning mavjudligini isbotlasak, maqsadga erishgan bo’lamiz. _{ } to’g’ri chiziqda ixtiyoriy _{ } nuqtani olib, _{ } nurni o’tkazsak, _{ } burchak hosil qilinadi, so’ngra shu burchakni _{ } nuqtadan boshlab, bir tomoni _{ } nurdan iborat qilib qo’yamiz (_{ } burchakdan tashqariga), bu burchakning ikkinchi tomoni _{ } nur bo’lsin. Shartga ko’ra, _{ } uchburchak ichki burchaklarining yig’indisi _{ } dan kichik bo’lgani uchun, ya’ni _{ } yoki _{ }, bundan _{ }. Bu vaqtda _{ } to’g’ri chiziq _{ } bilan kesishmaydi. Aksincha _{ } tog’ri chiziq bilan _{ } biror _{ } nuqtada kesishadi deb faraz qilsak, _{ } uchburchak hosil bo’lib, _{ } bu uchburchak uchun tashqi burchakdir. U holda _{ } bo’lgani uchun, bu esa ziddiyatdir. Demak, _{ } bilan _{ } kesishmaydi. Ushbu xulosaga keldik: Lobachevskiy aksiomasi “uchburchak ichki burchaklarining yig’indisi _{ } dan kichik” degan farazga ekvivalent.

_{ } uchburchak ichki burchaklarining yig’indisi _{ } bilan belgilasak, _{ } - _{ } ayirma musbatdir, uni _{ } uchburchakning nuqsoni (defekti) deb ataladi va _{ } bilan belgilanadi.