1-ma’ruza: Pedagogika otmda geometriyani o’qitish nazariy masalalari: Evklidga qadar geometriya. Evklidning “Negizlar” asari. Evklidning V postulati va uni isbotlashga urinishlar. Evklid va Lobachevskiy geometriyalari qiyosiy tahlili

2.4-teorema. Uchburchakning nuqsoni additivlik xossasiga bo’ysunadi, ya’ni _{ }.
Isbot.   .


2.5-teorema. Lobachevskiy tekisligida uchburchak ichki burchaklarining yig’indisi turli uchburchaklar uchun turlicha qiymatga ega, ya’ni o’zgaruvchi miqdordir.
I sbot. Faraz qilaylik, barcha uchburchaklar ichki burchaklarining yig’indisi o’zgarmas _{ } bo’lsin (ravshanki, _{ }). ABC uchburchakning _{ } uchidan o’tuvchi, _{ } tomonini _{ } nuqtada kesuvchi _{ } nur o’tkazsak, farazga asosan, _{ } bo’lib _{ } . Demak, _{ } yoki _{ } . Bu esa yuqoridagi teoremaga zid.
Har qanday to’rtburchakni ikkita uchburchakka ajratish mumkin bo’lgani uchun quyidagi ikki natijani chiqaramiz.

1. 
   
   Lobachevskiy tekisligida har qanday to’rtburchak ichki burchaklari yig’indisi _{ } dan kichik bo’lib, bu son har xil to’rtburchaklar uchun har xildir.
   
2. 
   
   Lobachevskiy tekisligida burchak kattaliklari bilan chiziqli kattaliklar orasida bog’lanish mavjud.
   

4. Parallel to`g`ri chiziqlar va ularning xossalari
“Parallellar nazariyasigacha” boʻlgan boʻlimga oid teoremalar oʻrta maktab darsliklarida fuyidagi tartibda keltiriladi: geoemetrik figura, chiziq, nuqta, tekislik, kesma, nur, aylana, aylana yoyi, vatar va hokazo toʻgʻrisidagi tushunchalarni anglatgandan soʻng, kesmalarni va yoylarni qoʻshish amali qaraladi. Soʻngra, toʻgʻri chiziq haqidagi bobda burchak tushunchasi kiritiladi, burchaklarni qoʻshish va ayirish qaraladi, bissektrisa, qoʻshni burchaklar, vertikal burchaklar toʻgʻrisida tushuncha kiritiladi. Bundan soʻng, toʻgʻri chiziqda yotmagan nuqtadan shu toʻgʻri chiziqqa perpendikulyar tushirish mumkin, ham faqat bittagina degan muhim teorema va vetikal burchaklarning tengliginini ifoda etuvchi teorema isbot qilinadi. Siniq chiziq, koʻpburchak, uchburchak, qavariq koʻpburchak tushunchalari kiritiladi. O’qqa nisbatan simmetriya asoslari tekshiriladi, teng yonli uchburchak xossalari va uchburchaklar tengligining alomatlari oʻrganiladi. Biz uchun katta ahamiyatga ega boʻlgan ushbu teorema isbotlanadi: uchburchakning tashqi burchagi oʻziga qoʻshi boʻlmagan ichki burchaklarning har biridan kattadir. Bu teoremaning parallellar nazariyasigacha isbotlanishiga e’tibor qilish kerak.
Budan keyin, uchburchakning tomonlari bilan burchaklari orasidagi munosabatlar to’liq ravishda oʻrganiladi: har qanday uchburchakda teng tomonlar qarshisidan teng burchaklar yotadi; katta tomon qarshisida katta burchak yotadi. Bu teoremalarga teskari boʻlgan teoremalar ham qaraladi.
Ikki nuqtani tutashtiruvchi toʻgʻri chiziq kesmasi, bu nuqtalarning tutashtiruvchi har qanday siniq chiziqdan kichikdir degan teorema isbotlanadi. Shu erning oʻzidayoq, mos ravishda teng boʻlgan tomonlar orasidagi burchaklari teng boʻlmagan ikki uchburchak haqidagi teorema qaraladi; ya’ni: agar bir uchburchakning ikki tomoni, ikkinchi uchburchakning ikki tomoniga mos ravishda teng boʻlsa, bu tomonlar orasidagi burchaklarning kattasi qarshisida katta tomon yotadi va teskari teorema.
Evklid geometriyasi bilan Lobachevskiy geometriyasi orasidagi eng asosiy farq ulardagi “parallellar nazariyasining” turliligidan iboratdir.
Lobachevskiy geometriyasi uchta qismga boʻlinadi:
1) chiziqlarni oʻlchash haqida (longimetriya), 2) sirtlarni oʻlchash haqida (planimetriya) va 3) jismlarni oʻlchash haqida (stereometriya).
Birinchi boʻlimda — “Chiziqlarni oʻlchash” boʻlimida — toʻgʻri chiziq; aylana va yoylar, hamda ichki chizilgan siniq chiziq uzunligidan limitni topish bilan egri chiziq uzunligini hisoblash usuli koʻrsatiladi;
Ikkinchi boʻlimda — “Burchaklar haqida” degan boʻlimda — Lobachevskiy chiziqli burchak, tekisliklar orasidagi burchak, toʻgʻri chiziq bilan tekislik orasidagi burchakni qaraydi, sfera toʻgʻrisida bahs qiladi, uchburchaklarni va koʻpburchaklarni turlarga boʻladi va koʻpyoqlar haqida ozgina toʻxtalib oʻtadi.
Uchinchi boʻlimda — “Perpendikulyarlar haqida" degan boʻlimda — perpendikulyar toʻgʻri chiziqlardan tashqari perpendikulyar tekisliklar hamda tekislikka perpendikulyar toʻgʻri chiziqlar tekshiriladi.
Toʻrtinchi boʻlim — “Mujassam burchaklarni oʻlchash. Muntazam koʻpburchaklar va jismlar haqida” degan sarlavhali boʻlib, muntazam koʻpyoqlarning mavjudligini isbotlash va ularni turlarga ajratish bilan tugaydi. Lobachevskiy bu boʻlimda, parallellar nazariyasiga mumkin qadar tayanmaslik maqsadida, oʻz davrida qabul qilingan isbotlardan ancha farq qiladigan isbotlarni keltiradi.
“Uchburchaklarning bir xilligi haqida” nomli beshinchi boʻlimda uchburchaklarning tenglik hollari tekshiriladi.
“Toʻgʻri toʻrtburchaklarni oʻlchash haqida” nomli oltinchi boʻlim quyidagi soʻzlar bilan boshlanadi: “Tekisliklarni oʻlchash ushbu haqiqatga asoslanadi: agar ikki toʻgʻri chiziq, uchinchi toʻgʻri chiziqdan bir tarafda turib, bulardan biri shu toʻgʻri chiziqqa perpendikulyar, ikkinchisi esa u bilan oʻtkir burchak tashkil qilsa, ular kesishadi.
Bu haqiqatning isboti hozirgacha topilgan emas. Berilgan isbotlarni faqat unga berilgan izoh deb aytish mumkin boʻlib, toʻliq ma’noda matematik isbot nomiini olishga arzimaydi”.
Lobachevskiy parallellar nazariyasiga bogʻliq boʻlmagan koʻp ma’lumotni toʻpladi. Bu ma’lumotlarning joylashish tartibi va bayoni odatdagiday shu qadar farq qilar ediki, akademik Fuss qoʻlyozmaga yomon baho beradi va u bosilmaydi. Lobachevskiy yozgan bu asarning keyinchalik Lobachevskiy nomini olgan gʻayrievklid geometriyani vujudga keltirishda gʻoyat darajada katta rol oʻynaganini endigina biz koʻrib turamiz.
Lobachevskiy geometriyasining Yevklid geometriyasidan yana bir asosiy farqi tekislikdagi to’g’ri chiziqlarning joylashishida yuz beradigan yangi hollardan iborat. Yevklid geometriyasida tekislikdagi umumiy nuqtaga ega bo’lmagan to’g’ri chiziqlar parallel deyiladi; Lobachevskiy tekisligida esa parallel to’g’ri chiziqlarni boshqacha ta’riflashga tog’ri keladi. _{ } to’g’ri chiziqda yotmaydigan _{ } nuqtadan _{ } bilan kesishmaydigan cheksiz ko’p to’g’ri chiziq o’tadi.

Demak, markazi _{ } nuqtada bo’lgan to’g’ri chiziqlar dastasi ikki sinfga ajratiladi. Birinchi sinfga dastaning _{ } to’g’ri chiziq bilan kesishadigan barcha to’g’ri chiziqlarni, ikkinchi sinfga esa dastaning qolgan hamma to’g’ri chiziqlarini kiritamiz. (Ravshanki, ikkala sinfda ham cheksiz ko’p chiziqlar mavjud.) _{ } nuqtadan _{ } to’g’ri chiziqqa _{ } perpendikulyar tushiraylik (4- chizma) hamda _{ } to’g’ri chiziqda yo’nalishni aniqlab olaylik. _{ }, _{ } to’g’ri chiziqlar birinchi sinfga tegishlidir. _{ } bo’lsin, ravshanki _{ }.

N nuqta _{ } to’g’ri chiziq bo’ylab aniqlandan yo’nalishda harakatlanib borsa, _{ } to’g’ri chiziq doimo birinchi sinfga tegishli bo’lib boraveradi, lekin doimo _{ } dan kichikligicha qoladi. Shunday _{ } burchaklar to’plamini _{ } deb belgilaylik; u chegaralangan cheksiz to’plam bo’lganligi sababli, aniq yuqori _{ } chegaraga egadir. Uchi _{ } nuqtada, bir tomoni _{ } nurdan iborat _{ } burchakning ikkinchi tomoni _{ } nurni hosil qiladi. _{ } to’g’ri chiziq quyidagi xossalarga ega:
1^o. _{ } to’g’ri chiziq _{ } bilan kesishmaydi. Haqiqatan ham ilarni biror _{ } nuqtada kesishadi deb faraz qilsak, _{ } to’g’ri chiziqda_{ } nuqtadan o’ng tomonda undan farqli _{ } nuqtani olib, _{ } to’g’ri chiziqni o’tkazsak, _{ } to’g’ri chiziq birinchi sinfga tegishli bo’lib, _{ } ham _{ } ga tegishli bo’lib, _{ }. Buning bo’lishi mumkin emas, chunki _{ } burchak _{ } ning aniq yuqori chegarasi.

4- chizma
2^o. A nuqtadan o’tib, _{ } bilan _{ } dan kichik burchak hosil qilingan har qanday to’g’ri chiziq _{ } bilan kesishadi, chunki bu vaqtda u to’g’ri chiziq birinchi sinfga tegishli bo’ladi.
Lobachevskiy yuqoridagi ikki xossaga ega bo’lgan shunday _{ } to’g’ri chiziqni _{ } to’g’ri chiziqqa berilgan yo’nalishda parallel deb ataydi. Demak, Lobachevskiy geometriyasida parallel to’g’ri chiziqlar tushunchasi boshqacha ta’riflanadi: berilgan nuqtadan berilgan to’g’ri chiziqqa roppa-rosa ikkita parallel to’g’ri chiziq o’tadi, bulardan biri a bilan bir xil yo’nalishda, ikkinchisi esa qarama-qarshi yo’nalishdadir. Yevklid geometriyasidagi kabi parallel to’g’ri chiziqlarni || bilan belgilaymiz.
Lobachevskiy tekisligidagi _{ } to’g’ri chiziqda yotmagan _{ } nuqtadan o’tgan barcha to’g’ri chiziqlar ikki sinfga ajralib, birinchi sinfga _{ } bilan kesishadiganlari, ikkinchi sinfga esa _{ } bilan kesishmaydiganlari kiradi; bu ikkinchi sinfga qarashli to’g’ri chiziqlar uzoqlashuvchi deyiladi. Bu ikki sinf to’g’ri chiziqlarini ajratib turuvchi _{ }, _{ } to’g’ri chiziqlarni a ga parallel deb ataymiz. _{ } – parallellik burchagi, _{ } – shu burchakka mos parallellik kesmasi deb ataladi.
Endi parallel to’g’ri chiziqlarning ba’zi xossalariga to’xtalib o’taylik: parallel to’g’ri chiziqlarga ta’rif berilganda _{ } nuqta maxsus rol o’ynagan edi, hozir bu nuqta o’rniga _{ } to’g’ri chiziqdagi boshqa nuqtani olsak ham parallellik ta’rifiga halal yetmasligini ko’rsatamiz.