1-ma’ruza: Pedagogika otmda geometriyani o’qitish nazariy masalalari: Evklidga qadar geometriya. Evklidning “Negizlar” asari. Evklidning V postulati va uni isbotlashga urinishlar. Evklid va Lobachevskiy geometriyalari qiyosiy tahlili

1-ta’rif. Nuqta-bo‘laklarga ega emas.

2-ta’rif. CHiziq-ensiz uzunlik.

3-ta’rif. CHiziqning chegarasi - nuqtalardan iborat.

4-ta’rif. To‘g‘ri chiziq - o‘zining barcha nuqtalariga nisbatan
bir xil joylashgan chiziq.


5-ta’rif. Sirt-faqat uzunlikka va enga ega.

6-ta’rif. Sirtning chegaralari chiziqlardan iborat.

7-ta’rif. Tekislik-unda yotadigan barcha to‘g‘ri chiziqlarga nisbatan bir xil joylashgan sirt.

8-ta’rif. Yassi burchak-bir tekislikdagi ikkita kesishuvchi chiziqning bir-biridan og‘ishi.
Ta’riflardan so‘ng Evklid isbot talab qilmaydigan jumlalar - postulatlar va aksiomalar keltiradi.
Postulatlar
I Har bir nuqtadan boshqa nuqtaga to‘g‘ri chiziq o‘tkazish mumkin.
II Har bir to‘g‘ri chiziqni istalgancha davom ettirish mumkin.
III Istalgan nuqtani markaz qilib istalgan radiusli aylana chizish mumkin.
IV Barcha to‘g‘ri burchaklar teng.
V Ikki to‘g‘ri chiziqni kesuvchi to‘g‘ri chiziq ular bilan ichki bir tomonli burchaklar hosil qiladi, bu ikki to‘g‘ri chiziq ichki bir tomonli burchaklar yig‘indisi ikki to‘g‘ri burchakdan kichik bo‘lgan tomonda kesishadi.
Aksiomalar
I. Bitta miqdorga teng miqdorlar o‘zaro teng.
II. Teng miqdorlarga teng miqdorlar qo‘shilsa, teng miqdorlar hosil bo‘ladi.
III. Teng miqdordan teng miqdorni ayirsak, teng miqdorlar hosil bo‘ladi.
IV. Teng bo‘lmagan miqdorga teng miqdorlarni qo‘shsak, teng bo‘lmagan miqdorlar hosil bo‘ladi.
V. Teng miqdorlarni ikkilantirsak, teng miqdorlar hosil bo‘ladi.
VI. Teng miqdorlarning yarimlari teng miqdorlar bo‘ladi.
VII. Ustma-ust tushuvchi miqdorlar teng.
VIII. Butun miqdor qismdan katta.
IX. Ikki to‘g‘ri chiziq fazoni chegaralay olmaydi.
Negizlar asarining ba’zi nashrlarida IV, V postulatlar aksioma deb olinadi. SHuning uchun V postulat XI aksioma deb ham yuritiladi. Hozircha Evklid aksioma va postulatni qaysi prinsipga asosan olganligi aniqmasligicha qolmoqda.
Evklid aksiomalardan so‘ng teoremalarni mantiqiy bog‘liqlik tartibini qat’iy etib joylashtirgan. YA’ni, keltirilgan har bir teoremani oldin keltirilgan tasdiq, aksioma va postulatlarga tayangan holda isbotlash mumkin.
Barcha keyingi teoremalarni qat’iy mantiqiy isbotlash uchun etarli bo‘ladigan ta’rif va aksiomalarni keltirish geometriyani asoslash deyiladi.
Geometriyani asoslash masalasi Evklid tomonidan to‘g‘ri qo‘yildi va o‘zining «Negizlar» asarida o‘sha davrga nisbatan to‘liq echildi.
Evklid «Negizlar» asarining zamonaviy matematika nuqtai nazaridan qaraganda, kamchiliklari mavjud. Ba’zi bir ta’riflari ta’riflanishi zarur bo‘lgan tushunchalarga asoslanadi. Masalan, «chegara», «uzunlik» va hokazo tushunchalar. I-VIII ta’riflardan birortasi teoremalar isbotlashda foydalanilmaydi. Bu ta’riflar kitobda keltirilgan boshqa materiallarga bog‘liq emas, ya’ni ularni tushirib qoldirsa ham kitobdagi keyingi mulohazalarga ta’sir qilmaydi. Bu ta’riflar faqat geometrik ob’ektlarni tasvirlash uchun kerak bo‘lgan.
Postulat va aksiomalarga kelsak, umuman olganda ular muhim jumlalar hisoblanadi. Juda ko‘p jumlalarni isbotlashda aksioma va postulatlardan foydalanishga to‘g‘ri keladi. Masalan, to‘g‘ri chiziq o‘zining ikkita nuqtasi bilan aniqlanadi, istalgan radiusli aylana mavjud va hokazo. Lekin Evklidning isbotsiz qabul qilgan jumlalari qat’iy mantiqqa asoslangan geometriyani qurish uchun juda kamlik qiladi. Evklid ko‘proq chizmalarga asoslanib fikr yuritadi.
Evklidning «Negizlar» asarining kamchiliklari qadimgi olimlar tomonidan ham aniqlangan.
Geometrik postulatlar Arximed tomonidan kengaytirilgan. O‘sha davrda Evklid faqat uzunlik, yuza va hajmlar nisbati to‘g‘risida yozadi. Masalan, doiralar yuzalari radiuslari kvadrati, sharlar hajmlari esa radiuslari kublari kabi nisbatda bo‘lishini yozgan. Arximed esa, bevosita bu kattaliklarni aniqlash uchun zarur jumlalarni ifoda etadi.
Arximed tomonidan beshta postulat kiritilgan, shulardan birinchisi va oxirgisini keltiramiz.
1) Umumiy uchlarga ega bo‘lgan barcha chiziqlar ichida eng qisqasi to‘g‘ri chiziqdir.
2) Ikkita teng bo‘lmagan chiziq (sirt va jism) lardan kattasi kichigini etarli marta oshirganimizdan kichik bo‘ladi.
Ikkinchi postulatni Arximed postulati deyiladi. Bu postulatni qisqacha qilib quyidagicha ifodalash mumkin: ixtiyoriy va sonlari uchun shunday soni topiladiki, munosabat o‘rinli bo‘ladi.
Elementar geometriyani o‘rgangan har bir kishi uchun V postulatning o‘rni qanchalik muhimligi ma’lum. Parallel to‘g‘ri chiziqlar nazariyasi va unga bog‘liq bo‘lgan figuralarning o‘xshashligi, trigonometriya kabi tushunchalar geometriyaning V postulatiga asoslangan.
V postulat birinchi marta qayerda uchrashini aniqlash uchun planimetriya boshlang‘ich tushunchalari ketma-ketligini esga olamiz. Avval geometriyaning asosiy tushunchalari: nuqta, to‘g‘ri chiziq, kesma tushunchalari kiritiladi. So‘ngra burchak, uchburchaklarning tengligi, kesma va burchaklarni taqqoslash kabi tushunchalar kiritiladi. Keyin bir nechta asosiy teoremalar keltiriladi. Jumladan, uchburchaklarning tenglik alomatlari, teng yonli uchburchaklarning xossalari, uchburchak ixtiyoriy uchidagi tashqi burchagi unga qo‘shni bo‘lmagan uchidagi ichki burchaklarining har biridan katta, uchburchak katta tomoni qarshisida katta burchagi yotadi (va aksincha), perpendikulyar va og‘malar haqidagi teorema, uchburchak ixtiyoriy tomoni qolgan ikki tomoni yig‘indisidan kichik. Bu jumlalardan so‘ng parallel to‘g‘ri chiziqlarga ta’rif beriladi.
Va nihoyat, berilgan to‘g‘ri chiziqda yotmaydigan nuqtadan unga parallel bitta va faqat bitta to‘g‘ri chiziq o‘tkazish mumkinligi parallel to‘g‘ri chiziqlar nazariyasida isbotlanadi. Bu teoremani isbotlashda V postulat muhim o‘rin tutadi. Agar yuqoridagi teoremani aksioma sifatida qabul qilsak, V postulatni isbotlash mumkin. Keyinchalik bizga ko‘proq kerak bo‘ladigan quyidagi teoremani isbotlaymiz.