1-ma’ruza: Vektorlar. Vektorlar ustida chiziqli amallar. Vektorlarning chiziqli bog`liqligi

3- tartibli determinant

2.Энди фараз килайлик 3 та номаълумли

чизикли тенгламалар системаси берилган булсин. (5)ни x₁ ,x₂ , x₃ ларга нисбатан ечамиз. Бунинг учун унинг биринчи тенгламасини a₂₂ a₃₃ - a₂₃ a₃₁ га иккинчисини a₁₃ a₃₂ - a₁₂ a₃₃ га ва учинчисини a₁₂ a₂₃ - a₁₃ a₂₂ га купайтириб кsшамиз. У холда

b₁ a₂₂ a₃₃ к b₂ a₁₃ a₃₂ к b₃ a₁₂ a₂₃ - b₃ a₁₃ a₂₂ - b₂ a₁₂ a₃₃ - b₁ a₂₃ a₃₂

x₁к  . (6)

a₁₁ a₂₂ a₃₃ к a₂₁ a₁₃ a₃₂к a₃₁ a₁₂ a₂₃ - a₃₁ a₁₃ a₂₂ - a₂₁ a₁₂ a₃₃ - a₁₁ a₂₃ a₃₂

Бунинг махражини

dк a₁₁ a₂₂ a₃₃ к a₂₁ a₁₃ a₃₂к a₃₁ a₁₂ a₂₃ - a₃₁ a₁₃ a₂₂ - a₂₁ a₁₂ a₃₃ - a₁₁ a₂₃ a₃₂ к

к

деб белгилаб олсак , (7) га 3- тартибли детерминант дeйилали. (7) нинг чап томонидан уни хисоблаш коидаси келиб чикади:

Осонлик билан куриш мумкинки, агар (7) да 1-устун элементлари a₁₁ , a₂₁ ,a₃₁ ни мос равишда b₁ ,b₂ ,b₃ лар (озод хадлар устуни) билан алмаштирсак (6) нинг сурати хосил булади, яъни (7) дан

b₁ a₁₂ a₁₃

d₁к b₂ a₂₂ a₂₃ к b₁ a₂₂ a₃₃ к b₂ a₁₃ a_{3 2} кb₃ a₁₂ a₂₃ - b₃ a₁₃ a₂₂ - b₂ a₁₂ a₃₃ -

b₃ a₃₂ a₃₃ - b₁ a₂₃ a₃₂ . (8)

(7) ва (8) га асосан (6) ни куйидагича ёза оламиз: x₁к d₁ / d. Худди шунингдек, (5) ни x₂ ва x₃ га нисбатан ечсак x₂к d₂ / d , x₃к d₃ / d ларни хосил киламиз. Бу ерда

a₁₁ b₁ a₁₃ a₁₁ a₁₂ b₁

d₂к a₂₁ b₂ a₂₃ , d₃ к a₂₁ a₂₂ b₂

a₃₁ b₃ a₃₃ a₃₁ a₃₂ b₃ .

Мисолар. 1).

2). чизикли тенгламалар системасини ечинг.

Шунинг учун хам xк4/4к1, yк2/4к1/2; zк2/4к-1/2.

Жавоби: (1, 1/2, 1/2).

3.Урнига куйишлар группаси. Фараз этайлик, бизга n та элементга эга булган А туплам берилган булсин. Бу туплам элементларини 1,2,...,n лар билан номерлаб чикайлик. У холда А ни Aк{ 1,2,3,...,n} деб ёзиш мумкин.

1-таъриф. А тупламни узига биектив (узаро бир кийматли) акслантиришга урнига кушиш дейилади.

Тушунарлики каралаётган тупламда n! та урнига куйиш мавжуд. Бундан кейин биз s урнига куйишда 1, 2, 3, ... , n элементларнинг мос равишда i₁ ,i₂ , ... , i_n элементларга утишини куринишда белгилаймиз.

1. Ikki to‘g‘ri chiziqning o‘zaro vaziyatlari

Fazoda ikki to‘g‘ri chiziq o‘zaro kesishgan, parallel va ayqash (uchrashmas) bo‘lishi mumkin.

Kesishuvchi to‘g‘ri chiziqlarning bir nomli proeksiyalari ham kesishgan bo‘ladi va kesishish nuqtalarining proeksiyalari Ox o‘qiga perpendikulyar bo‘lgan bog‘lanish chizig‘ida yotadi (1.18-shakl).

O‘zaro perpendikulyar kesishuvchi to‘g‘ri chiziqlar orasidagi to‘g‘ri burchak tomonlaridan birortasi, masalan, b||П₁ bo‘lsa, u holda bu to‘g‘ri burchak П₁ ga o‘zgarmay proeksiyalanadi (1.19-shakl).

Agar to‘g‘ri chiziqlar o‘zaro parallel bo‘lsa, ularning bir nomli proeksiyalari ham o‘zaro parallel bo‘ladi (1.20, 1.21-shakl).

Ayqash to‘g‘ri chiziqlarning kesishish nuqtalarini proeksiyalari Ox o‘qiga perpendikulyar bo‘lgan bir bog‘lovchi to‘g‘ri chiziqda yotmaydi (1.22-shakl). Ayqash to‘g‘ri chiziqlarning bir nomli proeksiyalarining kesishish nuqtalari ikki nuqtaning proeksiyasi deb tushuniladi. Bu ikki nuqta konkurent nuqtalar deyiladi. Konkurent nuqtalar yordamida proeksiyadagi shakllarning ko‘rinar-ko‘rinmasligi aniqlanadi.

П₁ tekislikka perpendikulyar proeksiyalovchi nurda yotgan 1 va 2 nuqtalar konkurent nuqtalardir (1.23-shakl). Agar I yo‘nalish bo‘yicha П₁ tekislik tomon qaralsa, 1₂ nuqta 2₂ nisbatan yuqorida joylashganligi ko‘rinadi, shu sababli b ning gorizontal proeksiyasi b₁ to‘g‘ri chiziq ko‘rinar bo‘ladi. Xuddi shunga o‘xshash II yo‘nalish bo‘yicha П₂ ga qaralsa, 3₁ nuqta 4₁ ga qaraganda yaqin joylashganligi ko‘rinadi, shuning uchun b ning frontal proeksiyasi b₂ ko‘rinar bo‘ladi.

1^ Mathematical Literacy for Humanists, Herbert Gintis, 73-80

2^ Mathematical Literacy for Humanists, Herbert Gintis, 73-80

3^ Mathematical Literacy for Humanists, Herbert Gintis, 73-80

4^ Mathematical Literacy for Humanists, Herbert Gintis, 73-80

5^ Mathematical Literacy for Humanists, Herbert Gintis, 73-80

6^ Mathematical Literacy for Humanists, Herbert Gintis, 73-80

7^ Introduction to Calculus Volume II. pp 1

8^ Introduction to Calculus Volume II. pp 3-4

9^ Introduction to Calculus Volume II. pp 3-4