1-mavzu: Ekstremumga doir masalalarni elementar usulda yechish Boshlang‘ich tushunchalar

Chiziqli funksiya ekstremumi
chiziqli funksiya berilgan. Ma’lumki, bu funksiyaning grafigi to‘g‘ri chiziqdan iborat. Bu grafik bo‘lganda o‘suvchi, bo‘lganda o‘zgarmas (ya’ni abscissa o‘qiga parallel), bo‘lganda kamayuvchi bo‘ladi (33- chizma).
Bu hollarning barchasida chiziqli funksiyaning maksimumi yoki minimum haqida gap bo‘lishi mumkin emas.
Agar chiziqli funksiya biror kesmada berilgan bo‘lsa, bo‘lganda uning eng katta va eng kichik qiymatlari mavjud bo‘ladi.
bo‘lsa, chiziqli funksiyaning eng kichik qiymati nuqtada, eng katta qiymati esa nuqtada bo‘ladi (34- chizma, a).
bo‘lganda, aksincha, chiziqli funksiyaning eng kichik qiymati nuqtada, eng katta qiymati esa, nuqtada bo‘ladi (34- chizma, b). bo‘lganda chiziqli funksiyaning barcha qiymatlari teng bo‘ladi (34- chizma, v).
Shunday qilib, funksiya eng kichik va eng katta qiymatlarni aniqlanish sohasining chegaralarida qabul qiladi.
Chiziqli dasturlashning oddiy masalasi va uning grafik usulda yechilishi
Faraz qilaylik, ikki yoki bir necha o‘zgaruvchilarning chiziqli funksiyasi bo‘lib, o‘zgaruvchilar chiziqli tengsizliklar sistemasi bilan bog‘langan bo‘lsin.
U holda chiziqli dasturlash ning eng kichik yoki eng katta qiymatlarini ta’minlaydigan larning manfiy bo‘lmagan qiymatlarini toppish masalalari bilan shug‘ullanadi. Chiziqli dasturlashning masalalaridan biri va uning grafik usulda yechilishi bilan tanishaylik.
1- masala. Duradgorlik sexi shkaf va stellar tayyorlaydi. (Shkaf 60 so‘m, stol 40 so‘m turadi). Sex ixtiyorida 60 kub m taxta va 400 ishchi kuni bo‘lib, bir shkafga 0,2 kub m taxta va 2 ish kuni, bir stolga 0,3 kub m taxta va 1 ish kuni sarflanadi. Sexning shunday mahsulot chiqarish programmasini tuzish kerakki, natijada sexning daromadi (pul hisobida) eng yuqori bo‘lsin.
Eng yaxshi, ya’ni foydali natija beradigan plan odatda optimal plan deyiladi. Chiziqli dasturlash masalalarining yechish usullarini bilmasdan turib, optimal plan tuzish, hatto boshqa biror plan tuzish qiyin. Masalan, 100 ta shkaf va 200 ta stol tayyorlash masalasini qo‘yaylik. Bu holda ishchi kuni (400) yetarli, lekin taxta yetmasdan qoladi. Demak, plan tuzish mumkin emas.
Berilgan masala grafik usulda oson hal qilinadi, ya’ni:

Ko‘rsatkichlar nomi	Taxta (kub m)	Mehnat (ishchi kuni)
Rezervlar . . . . . . . . . . 1 shkafga sarf normasi 1 stolga sarf normasi .	60 0,2 0,3	400 2 1

Tayyorlanishi lozim bo‘lgan shkaflar sonini , stollar sonini orqali belgilaymiz. U holda mahsulot tayyorlashning eng yuqori chegaralarini quyidagi tengsizliklar yordami bilan belgilash mumkin:

Mahsulotning umumiy narxi: . U holda masala bunday yoziladi: chiziqli formaning

tengsizliklar sistemasini qanoatlantiruvchi eng katta qiymati topilsin.
Buning uchun to‘g‘ri burchakli dekart koordinatalar sistemasida quyidagi chiziqlar bilan chegaralangan sohani topamiz:

35- chizmada shtrixlangan soha to‘rtta chiziqli tengsizliklar sistemasining yechimini ifoda qiladi. Bu soha va qiymatlarning o‘zgarish chegaralarini yaqqol ko‘rsatadi.
Endi quyidagi savolga javob topish kerak.
Shtrixlangan sohaning qaysi bir nuqtasida daromad eng ko‘p bo‘ladi?
Haqiqatan ham, shtrixlangan sohada daromad miqdori har xil bo‘lishi mumkin. Masalan, tenglamasi (3) bo‘lgan to‘g‘ri chiziqning nuqtalarida so‘m bo‘ladi. Tenglamasi (4) bo‘lgan to‘g‘ri chiziqning nuqtalarida esa daromad miqdori so‘m bo‘ladi.
(3) yoki (4) ko‘rinishdagi to‘g‘ri chiziqlarning har birida daromad miqdori o‘zgarmaydi. Bunday to‘g‘ri chiziqlar sath chiziqlari deyiladi. Bu chiziqlar bir-biriga parallel bo‘ladi. Sath chizig‘i koordinatalar boshidan qancha uzoqlashsa, ning qiymati ham shuncha kattalashadi, ning eng katta qiymati sath chizig‘ining shtrixlangan soha bilan faqat chegarada umumiy nuqtaga ega bo‘lganida hosil bo‘ladi.
Masalada sath chizig‘i nuqtadan o‘tganida eng katta qiymat (so‘m) ga ega bo‘ladi. Shunday qilib, nuqta optimal planni beradi.bunday nuqta optimal nuqta deyiladi.
Demak, agar 150 ta shkaf va 100 ta stol ishlansa, u holda mehnat rezervi ishchi kunidan to‘la foydalaniladi va taxta zapasi kub m to‘la sarflanadi hamda daromad miqdori so‘m bo‘ladi.
Umuman, chiziqli dasturlash masalalarini grafik usulda yechish chiziqli formaning argumentlari qabul qila oladigan soha yoki programmaning barcha mumkin bo‘lgan hollari aks etadigan soha – qavariq ko‘pburchakni aniqlashdir. Shundan so‘ng, qavariq ko‘pburchakning uchlarida ning qiymatlarini hisoblab, uning eng katta yoki eng kichik qiymatini aniqlash kerak.
2- masala. Eshik va derazalar tayyorlash uchun taxta va oyna bor. Ularning umumiy miqdori va sarflanadigan materiallar quyidagicha:

Asbob-uskuna	Deraza	Eshik	Mavjud materiallar
Taxta ....... Oyna .......	0,3 3	0,4 -	12 (kub m) 45 (kub m)
Ishchi kuni ..... 1 birlik narxi	3,5 6 so‘m	2 5 so‘m	70 (kishi soat)

Sexning eng rentabel ishi ta’minlansin.
Masalaning shartidan, programmaning mumkin bo‘lgan hollarini aks etadigan tengsizliklar sistemasini aniqlaymiz:

Bunda va y mos ravishda deraza va eshiklar sonini ifoda qiladi. Bu holda .
Shtrixlangan sohada ning eng katta qiymatini aniqlaymiz (36- chizma).
Buning uchun sohada qavariq ko‘pburchakning barcha uchlarida ning qiymatlarini topamiz: nuqtada .
Tenglamalar sistemasini yechib, qolgan uchlarini topamiz:
nuqtada .
nuqta (2) va (3) larning umumiy nuqtasidir.
.
Demak; da .
(1) va (3) to‘g‘ri chiziqlarning umumiy nuqtasi:
.
Demak, da .
nuqtada: .
Shunday qilib, faqat nuqtada eng katta qiymat (so‘m) ga ega.
Demak, hammasi bo‘lib 5 deraza va 26 eshik ishlab chiqarilsa, yuqori daromadga erishiladi. Bunda mavud 12 kub m taxtadan kub m; mavjud 45 kv m oynadan kv m; mavjud 70 kishi-soat ishchi kunidan kishi-soat sarflanadi.
3- masala. Ikki shaxtada temir ruda qazib olinadi: birinchida bir kunda 100 t, ikkinchisida esa 200 t. bu tayyorlanadigan rudani ikki zavod qayta ishlab chiqaradi. 1 t rudani qayta ishlash narxi (shartli birlikda) quyidagicha:

	1-zavod	2-zavod
1- shaxta 2- shaxta	5 7	4 5

Har bir zavod 250 t dan ortiq bo‘lmagan rudani ishlab chiqaradi. Har bir shaxtadan qaysi zavodga qancha ruda yetkazganda rudalarni tashish narxi eng kam bo‘ladi?
Yechish. - shaxtadan 1-zavodga bir kunda yetkaziladigan ruda miqdori, - shaxtadan 1- zavodga, demak, - shaxtadan 2- zavodga, esa bir kunda 2- shaxtadan 2- zavodga yetkaziladigan ruda miqdoridir. Shunday qilib, va ga qo‘yiladigan chegaraviy shartlar quyidagicha:

Tashishning umumiy xarajat narxi:
, ya’ni funksiyasi bo‘ladi. ning eng kichik qiymati topilishi kerak.
Asosiy vazifa 37- chizmadagi yechimlar to‘plami bo‘lgan oltiburchakda, ya’ni yechimlar ko‘pburchagida shunday nuqtalarni toppish kerakki, bu nuqtalarda yoki ning qiymati eng kichik bo‘lsin. Buning uchun koordinatalar sistemasida bir nechta ( - parameter) to‘g‘ri chiziqlar o‘tkazamiz. Ular ning turli qiymatlarida bir-biriga parallel bo‘ladi. Odatda bu chiziqlar funksiyaning sath chiziqlari bo‘ladi va sath chizig‘i bilan yechimlar ko‘pburchagining uchlarida funksiya ekstremal qiymatlarga ega bo‘lishi mumkin. Ko‘pburchak uchlari ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; . Bu qiymatlarning eng kichigi yoki .
Demak, eng samarali ravishda ruda tashish plani quyidagicha bo‘ladi: ; .

	1- zavod	2- zavod
1- shaxta 2- shaxta	50 t 0	50 t 200 t

Chiziqli tengsizliklar sistemasi bilan bir qatorda chiziqli bo‘lmagan tengsizliklar sistemasi bilan ham shug‘ullanib, chiziqlimas dasturlashtirish masalalari bilan tanishish mumkin. Buning uchun o‘rta maktab matematika kursida ko‘rib o‘tiladigan ikkinchi darajali tengsizliklarni grafik usulda yechish masalasini bilish kerak.
Quyidagi bir necha misol shular jumlasidandir.
1) tengsizlikning yechimlar to‘plami aniqlansin.
Ma’lumki, tenglamani qanoatlantiradigan tekislikning nuqtalari to‘plami markazi nuqtada bo‘lgan radiusli aylanani ifoda qiladi. Shuning uchun tengsizlik markazi nuqtada va radiusi bo‘lgan aylana bilan birga olingan yopiq doirani ifoda qiladi.
2) tengsizlik esa 1- misoldagi yopiq doiraning tashqi qismini ifoda qiladi.
3) tengsizlik esa parabola va undan yuqorida bo‘lgan nuqtalar to‘plamini ifoda qiladi.
4) tengsizlikni tekshirish uchun funksiyaning grafigi bilan giperboladan foydalanamiz.
Masalan, bo‘lganda giperbola 1- va 3- kvadrantlarda joylashgan bo‘ladi. Shuning uchun . Bu tengsizlikni tekislikdagi giperbola tarmoqlari orasida joylashgan nuqtalar va shu egri chiziqlar nuqtalari qanoatlantiradi.
Endi tengsizliklar sistemasini geometrik usulda yechishga o‘tamiz. Bunda tengsizliklardan biri chiziqli, ikkinchisi esa 2- darajali bo‘lisn.
Misollar.
1)
sistema yechilsin.
Tengsizliklar sistemasini yechish – bir vaqtda sistemadagi har bir tengsizlikni qanoatlantiradigan tekislikdagi nuqtalar koordinatalarini topish demakdir.
Ma’lumki, - markazi nuqtada bo‘lgan radiusli aylanani va uning ichki qismi bo‘lgan doira nuqtalarini ifoda qiladi. yoki esa to‘g‘ri chiziq va undan yuqorida joylashgan yarim tekislikni ifoda qiladi. Bu ikki sohaning umumiy qismi yopiq yarim doiradan iborat (38- chizma).
2)
Bu tengsizlikni qanoatlantiradigan tekislikdagi nuqtalar to‘plami parabola va to‘g‘ri chiziq orasidagi yopiq sohani tashkil qiladi, bunga sohaning chearaviy nuqtalari ham tegishlidir (39- chizma).
Chiziqli dasturlashtirish masalalariga o‘xshash chiziqlimas dasturlashtirishda masala sharti, tengsizliklar sistemasi (ularning barcha chiziqli bo‘lishi shart emas) va maqsad funksiyasi beriladi. Masalani yechish – shunday nuqtalarni toppish kerakki, ularning koordinatalari berilgan sistemani qanoatlantirsin va maqsad funksiyasi bu nuqtada optimal qiymatga erishsin.
Maqsad funksiyasi ikki argumentli bo‘lganda masala geometrik tarzda oddiy yechiladi.
1- masala. Perimetrlari bir xil bo‘lgan to‘g‘ri burchakli to‘rtburchaklar orasida eng katta yuzga ega bo‘lgani topilsin.
va orqali qo‘shni tomonlar uzunliklarini belgilaymiz. Shartga ko‘ra barcha to‘rtburchaklarning tomonlari tenglikni qanoatlantiradi.
Umuman masala shartidan quyidagi sistemaga ega bo‘lamiz: