1-mavzu: Ekstremumga doir masalalarni elementar usulda yechish Boshlang‘ich tushunchalar

6-mavzu:Funksiyaning to‘plamdagi eng katta va eng kichik qiymatlari
Funksiyaning maksimumi, minimum uning biror nuqta atrofidagi o‘zgarish holatini bildiradi. Shuning uchun bu xossalar funksiyaning lokal (mahalliy) xossalariga mansubdir.
Agar funksiyaning biror kesmadagi holati, masalan, eng katta va eng kichik qiymatlarini toppish talab qilinsa, u holda oldingi local maksimum yoki lokal minimumlardan farq qilib, funksiyaning absolyut ekstremumi haqida so‘z yuritiladi.
Shunday qilib, funksiyaning kesmadagi eng kichik va eng katta qiymatlarini topish uchun umumiy qoida quyidagidan iborat:
1) funksiyaning dagi barcha kritik nuqtalaridagi qiymatlari topiladi;
2) funksiyaning kesma uchlaridagi va qiymatlari topiladi;
3) topilgan barcha qiymatlar taqqoslanadi, ularning eng kattasi (kichigi) funksiyaning dagi eng katta (kichik) qiymati bo‘ladi va orqali belgilanadi.
Ba’zi hollarda bu qoidani ixchamroq holga keltirib, quyidagi jumlalardan birini ishlatish mumkin:
1) Agar funksiya da uzluksiz bo‘lib, unda birgina ekstremumga ega bo‘lsa, u holda bu ekstremum maksimum (minimum) bo‘lganda, u funksiyaning dagi eng katta (kichik) qiymati bo‘ladi.
2) Agar funksiya da uzluksiz bo‘lib, unda ekstremumga ega bo‘lmasa, u holda funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlari kesmaning uchlarida bo‘ladi.
3) Agar funksiya kesmada uzluksiz bo‘lib,
a) da ;
b) ;
v) birgina kritik nuqta mavjud bo‘lsa, u holda funksiyaning kesmadagi eng katta (kichik) qiymati bo‘ladi.
Misol. funksiyaning dagi eng kichik va eng katta qiymatlari topilsin.
Kritik nuqtalarni topamiz:
; , .
da ga teng.
da ga teng.
Endi va da ning qiymatlarini topamiz.
; .
Endi , , , larni taqqoslaymiz:
; .
Maksimum va minimumga doir masalalarni yechishda masaladagi erkli o‘zgaruvchi vazifasini bajaradigan parametrni to‘g‘ri tanlash katta ahamiyatga ega bo‘lib, yechish protsessini birmuncha ixchamlashtiradi.
Endi ba’zi masalalarni yechib ko‘ramiz:
1-masala. Tomonlaridan biri devor bilan o‘ralgan to‘g‘ri to‘rtburchak shaklidagi yer uchastkasini o‘rab olish uchun ma’lum miqdorda qurilish materiallari mavjud. Yer uchastkasining tomonlari shunday bo‘lsinki, devor uchun sarflanadigan qurilish materiallarini kamroq sarflab, kattaroq yer uchastkasi o‘rab olinsin.
Yechish. To‘g‘ri to‘rtburchakning berilgan devorga parallel bo‘lgan tomonini orqali belgilasak, quriladigan devorning uzunligi bo‘lganda unga qo‘shni tomonlarning uzunliklari dan iborat bo‘ladi. U holda maydonning yuzi bo‘ladi, bunda 0 . Shunday qilib, masalani yechish funksiyaning oraliqdagi eng katta qiymatini topishga keltiriladi.
funksiyaning ekstremumini topamiz.
1) ;
2) ; birgina kritik nuqta.
Demak, funksiya yuqorida bayon qilingan 3) jumladagi shartlarni qanoatlantiradi, ya’ni:
a) da ,
b) va da ,
v) da birgina kritik nuqtaga ega.
Shuning uchun funksiyaning dagi qiymati uning eng katta qiymati bo‘ladi.
bo‘lgani uchun unga qo‘shni ikki tomonning har biri ga teng.
2- masala. Radiusi bo‘lgan aylanma yo‘lka o‘rtasiga lampa osilgan. Lampaning balandligi qanday bo‘lganda yo‘lka eng yaxshi yoritiladi?
Yechish. Ma’lumki, yoritilganlik manbadan jismgacha bo‘lgan masofaning kvadratiga teskari proporsional bo‘lib, nur tushish burchagining kosinusiga to‘g‘ri proporsionaldir, ya’ni, agar tushish burchagi bo‘lsa, u holda , bunda proporsionallik koeffitsienti. Shunday qilib, yoritilganlik manbadan jismgacha bo‘lgan masofa ga, burchakka yoki balandlikka bog‘liqdir (56- chizma).
Erkli o‘zgaruvchining turlicha tanlash usullari bilan tanishaylik.
a) Erkli o‘zgaruvchi sifatida ni olamiz. U holda yoritilganlikni orqali ifodalaymiz:
uchburchakdan , u holda

Shuning uchun bunda h>0.


E(h) funksiyaning ekstremumini izlaymiz.

1. 
   
   
2. 
   =0, bundan ; h>0 bo’lgani uchun bo’ladi;
   
3. 
   va bo’lsin.
   

U holda va
Demak, bo’lganda E(h) funksiya maksimumga erishadi; bu funksiyaning aniqlanish sohasidagi birgina ekstremal qiymatidir.