1§. Мулоҳазалар алгебраси

11-таъриф: Мулоҳазалар алгебрасининг пропозиционал ўзгарувчилардан ташкил топган формуласининг мукаммал дизъюнктив нормал форма (МДНФ) си деб, шу формуланинг таркибида бир хил элементар конъюнкциялар бўлмаган, ҳамда барча элементар конъюнкциялари ўзгарувчиларга нисбатан тўғри, тўлиқ бўлган ДНФ сига айтилади.
Таърифга биноан, айнан ёлғон формула учун МДНФ мавжуд эмас, чунки агар унинг учун МДНФ мавжуд бўладиган бўлса, бундай МДНФнинг таркибидаги ҳар бир қўшилувчи элементар конъюнкция айнан ёлғон бўлмоғи лозим. Буни бўлиши МДНФ таркибидаги элементар конъюнкцияларда пропозиционал ўзгарувчининг ҳам ўзи, ҳам инкорини қатнашишини тақозо қилади. Бу ҳолат формула учун МДНФ таърифидаги в) пунктни бажарилмаслигини билдиради.
12-таъриф. Мулоҳазалар алгебрасининг пропозиционал ўзгарувчилардан ташкил топган формуласининг мукаммал конъюнктив нормал форма (МКНФ) си деб, шу формуланинг таркибида бир хил элементар дизъюнкциялар бўлмаган, ҳамда барча элементар дизъюнкциялари ўзгарувчиларига нисбатан тўғри ва тўлиқ бўлган КНФ сига айтилади.
1-теорема: Мулоҳазалар мантиқининг айнон ёлғон бўлмаган ҳар қандай формуласи ягона МДНФга тенг кучлидир.
1-натижа: Тенг кучли формулалар бир хил МДНФ га эга бўлади.


2-натижа: Таркибида n та ҳар хил ўзгарувчилар қатнашган формула айнан рост бўлиши учун унинг МДНФ си роса 2ⁿ та ҳар хил тўлиқ конъюнкциялар дизъюнкциясидан иборат бўлиши зарур ва етарлидир.


3-натижа: Мулоҳазалар алгебрасини ҳар қандай формуласининг инкори, шу формула МДНФ сига кирмайдиган тўлиқ конъюнкцияларнинг ва фақат шуларнинг дизъюнкциясидан иборатдир.

Мулоҳазалар алгебрасини формулалари МКНФ си учун ҳам худди юқоридаги каби ушбу теореманинг ўринли бўлишини кўрсатиш мумкин.

2-теорема: Мулоҳазалар алгебрасининг айнан рост бўлмаган ҳар қандай формуласи ягона МКНФ га тенг кучлидир.