1§. Мулоҳазалар алгебраси

Тенг кучли формулалар ва тенг кучли алмаштиришлар

Мулоҳазалар алгебрасининг ихтиёрий формуласи ўзининг ростлик жадвали билан характерланади.

1-мисол. формулага ушбу ростлик жадвали мос келади.

A	B	С
Р	Р	Р	Ё	Ё	Ё
Р	Р	Ё	Р	Р	Р
Р	Ё	Р	Ё	Ё	Ё
Р	Ё	Ё	Р	Ё	Ё
Ё	Р	Р	Ё	Ё	Р
Ё	Р	Ё	Р	Р	Р
Ё	Ё	Р	Ё	Ё	Р
Ё	Ё	Ё	Р	Ё	Р

Таъриф. Агар мулоҳазалар алгебрасининг ва формулалари пропозиционал ўзгарувчилар мос қийматларининг барча наборларида бир хил қиймат қабул қилсалар, бу формулаларни тенг кучли формулалар дейилади.
ва формулаларни тенг кучли эканлигини кўринишда ёзилади.

Таърифга кўра 1- ва 2- мисоллардаги формулалар тенг кучлидир, яъни .

Мантиқий амалларнинг таърифидан фойдаланиб баъзи тенг кучлиликларни бевосита исботлаш мумкин, масалан;

, Ё, Р

муносабатлар ўринлидир.

Таърифга кўра, формулаларнинг тенг кучли эканлигини аниқлашнинг умумий усули қуйидагича;

Ҳар бир формула учун ростлик жадвали тузилади, пропозиционал ўзгарувчиларнинг бир хил наборларида формулаларнинг қабул қиладиган қийматлари солиштирилади, агар наборларнинг барча мос комбинацияларида формулаларнинг қийматлари бир хил бўлса, бу формулалар тенг кучли бўлади.

+уйидаги тенгкучлиликлар, мулоҳазалар логикасининг асосий тенг кучлиликлари ҳисобланадилар.

1. 
   конъюкциянинг ўрин алмашувчанлиги .
   
2. 
   дизъюнкциянинг ўрин алмашувчанлиги .
   
3. 
   конъюнкциянинг ассоциативлиги .
   
4. 
   дизъюнкциянинг ассоциативлиги .
   
5. 
   дизъюнкциянинг конъюнкцияга нисбатан дистрибутивлиги .
   
6. 
   конъюнкциянинг дизъюнкцияга нисбатан дистрибутивлиги .
   
7. 
   конъюнкциянинг идемпотентлиги .
   
8. 
   дизъюнкциянинг идемпотентлиги .
   
9. 
   .
   

10. 
    10. .
    

11. .

10. 
    12. .
    
11. 
    13. .
    
12. 
    14 .
    
13. 
    15. де Морган тенгкучлиликлари .
    
14. 
    16. де Морган тенгкучлиликлари .
    
15. 
    17. импликациянинг инкор ва конъюнкция билан ифодаланиши .
    
16. 
    18. қўш инкор тенгкучлилиги .
    
17. 
    19. .
    

Кўрилган тенг кучлиликларнинг ҳар бирининг ўринли эканлигини ростлик жадвалларини тузиш ёрдамида исботлаш мумкин. Бу тенг кучлиликлар ёрдамида, берилган формулага тенг кучли формулаларни ҳосил қилиш, берилган формулаларнинг тенг кучлилигини аниқлаш, формулаларни соддароқ кўринишга келтириш, ҳамда берилган формулани айнан рост, айнан ёлғон, бажарилувчи эканлигини аниқлаш мумкин.

Биз мулоҳазалар алгебрасида формула тушунчасини киритишда мулоҳазалар тўпламидан олинган ҳар қандай элементар мулоҳазага бирор пропозиционал ўзгарувчини мос қўйган эдик. Шу муносабат билан аввал таърифларини келтирганимиз, айнан рост, айнан ёлғон ва бажарилувчи мулоҳазаларни, формула тушунчасини қўллаб, мос равишда айнан рост формула, айнан ёлғон формула, бажарилувчи формула тушунчалари билан бир хил тушунчалар деб қараймиз. Шунингдек, формула тушунчаси ёрдамида таърифлаганимизда тенг кучли формулалар тушунчасини ҳам тенг кучли мулоҳазалар тушунчаси билан бир хил деб ҳисоблаймиз. Умуман мулоҳазалар алгебрасида мулоҳазалар алгебрасининг формуласи деганда қандайдир мулоҳазани назарда тутамиз.

Ҳар қандай мулоҳазага бирор формула мос келиши ва формулалар учун кўриб чиқилган тенг кучлиликларни ҳисобга олиб, мулоҳазалар учун ҳам тенг кучлиликларни қўллаш мумкин, яъни мулоҳазани бошқа бирор тенг кучли мулоҳазага алмаштириш, берилган мулоҳазаларни тенг кучлилигини аниқлаш, мураккаб мулоҳазани айнан рост ёки айнан ёлғон эканлигини аниқлаш мумкин.