1. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница

Способ вычисления криволинейного интеграла второго рода.

Пусть требуется вычислить

Кривая C задана параметрически: , где функции имеют непрерывные на отрезке производные. В этом случае мы имеем следующую формулу для вычисления криволинейного интеграла второго рода:


16. Условие независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования.
Условие независимости результата интегрирования криволинейного интеграла по кривой, соединяющей две фиксированные точки области, от формы этой кривой равносильно условию равенства нулю интеграла по любой замкнутой кривой, лежащей в этой области. Следовательно, соотношение
равносильно тому, что
Необходимым и достаточным условием того, что , где С – любая замкнутая кривая, лежащая в области D, является равенство , выполняющееся всюду в D для непрерывных функций и . Для доказательства этого факта используется формула Грина.
Таким образом, выполнение условие обеспечивает представление , и криволинейный интеграл от этого выражения по любой кривой, соединяющей две фиксированные точки A и B с координатами , соответственно, равен


17. Поверхностные интегралы первого рода. Вычисление поверхностного интеграла первого рода.
Основной задачей, приводящей к поверхностному интегралу первого рода, является задача о вычислении массы неоднородной оболочки.
Выражение для массы оболочки иметь вид:

Представим предел интегральной суммы через двойной интеграл, так как сомножитель – элемент площади. В результате предельного перехода получим
Интеграл, стоящий в правой части последнего выражения, называется поверхностным интегралом первого рода или поверхностным интегралом по площади поверхности. Заметим, что результат интегрирования не зависит от выбора стороны оболочки.
С помощью поверхностного интеграла 1-го рода можно вычислять не только массу оболочки, но и другие физические характеристики оболочки: моменты, центр тяжести….