1. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница

Замена переменных в тройном интеграле.
Если переменные в тройном интеграле являются функциями переменных то тройной интеграл от функции по трехмерной области B равен интегралу по области от функции , умноженной на модуль якобиана . То есть, справедлива формула


14. Криволинейные интегралы первого рода. Вычисление криволинейного интеграла первого рода.
Выражение для массы нити будет иметь вид
.
Обозначая предел интегральной суммы с помощью интеграла, получим
.
Правая часть последнего выражения называется криволинейным интегралом первого рода или криволинейным интегралом по длине дуги. Заметим, что результат интегрирования не зависит от направления движения по кривой C, как не зависит от направления измерения масса нити.
С помощью криволинейного интеграла 1-го рода можно вычислять не только массу нити, но и другие физические характеристики нити: моменты, центр тяжести.

Способ вычисления криволинейного интеграла первого рода.

Пусть требуется вычислить , когда функция непрерывна на кривой C. Кривая C задана параметрически: , где функции имеют непрерывные на отрезке производные.
В этом случае справедлива следующая формула для вычисления криволинейного интеграла:

15. Криволинейные интегралы второго рода. Вычисление криволинейного интеграла второго рода
Переходя с помощью предела от интегральных сумм к интегралу, имеем
Интеграл в правой части последнего выражения называется криволинейным интегралом второго рода или криволинейным интегралом по координатам. Этот интеграл вычисляют только вдоль ориентированных кривых – то есть, кривых, на которых задано направление. Поэтому при задании криволинейного интеграла второго рода обязательно задают направление движения по кривой интегрирования.
В случае, когда кривая C замкнута, символ интеграла обычно несколько изменяют, добавляя пересекающий его кружок: