1. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница

22.Оператор Гамильтона.
Для упрощения записи характеристик скалярных и векторных полей был введен символический векторный оператор, имеющий вид . Символическое «умножение» этого оператора на какую-то величину означает, что каждая из компонент оператора применяется к этой величине.
Например, если – скалярная величина, то

Для векторных величин возможно как скалярное, так и векторное умножение. Проследим, что дадут такие произведения с оператором в случае векторного поля .
Скалярное произведение: .
Векторное произведение:
Отдельный интерес представляет определенный для скалярных полей оператор
.
Такой оператор называется оператором Лапласа. Функции, удовлетворяющие уравнению Лапласа называются гармоническими в А функциями.


23. Специальные векторные поля (потенциальное, соленоидальное)
Потенциальным полем называется поле вектора , , если существует скалярная функция такая, что или . При этом функция называется потенциалом вектора .
Итак, потенциальное векторное поле – это безвихревое, бесциркуляционное поле, так как циркуляция вдоль любого замкнутого контура согласно формуле Стокса равна нулю:
Соленоидальным полем называется поле вектора , , если существует вектор-функция , , такая, что или , , В этом случае вектор-функцию называют векторным потенциалом вектора .
Необходимым и достаточным условием того, что поле вектора соленоидально, является выполнение равенства.


24. Разложение произвольного векторного поля.
Пусть , , – произвольное векторное поле. Покажем, что вектор может быть представлен как сумма двух векторов, один из которых представляет потенциальное, а другой – соленоидальное векторное поле.
Пусть вектор . Какой должна быть эта функция , чтобы вектор был соленоидальным?
Поскольку , получим , то есть . Таким образом, чтобы разложить исходный вектор на сумму потенциального и соленоидального векторов, необходимо сначала решить уравнение Пуассона . Такое уравнение всегда имеет решение (и даже бесчисленное множество решений). Определив , мы получим потенциальный вектор . Теперь по построению вектор соленоидальный. Следовательно, требуемое разложение построено.