1. Parametrik ko’rinishda berilgan funksiya grafigi va misollar

Parametrik funktsiyani aniqlash

Demak, t ∈ (a; b) qiymat uchun x = ph (t), y = ps (t) lar aniqlangan va x = ph (t) uchun t = D (x) teskari funktsiyaga ega, keyin savol ostida y = ps (D (x)) ko‘rinishdagi funksiyaning parametrik tenglamasini aniqlash bo‘yicha.
Funksiyani tekshirish uchun x ga nisbatan hosilani izlash talab qilinadigan holatlar mavjud. y x "= ps" (t) ph "(t) ko'rinishdagi parametrik berilgan funksiyaning hosilasi formulasini ko'rib chiqaylik, keling, 2 va n-tartibli hosila haqida gapiraylik.

Parametrli berilgan funksiyaning hosilasi formulasini hosil qilish

Bizda x = ph (t), y = ps (t), t ∈ a qiymati uchun aniqlangan va differentsiallanadigan; b, bu erda x t "= ph" (t) ≠ 0 va x = ph (t), u holda t = D (x) ko'rinishdagi teskari funksiya mavjud.
Boshlash uchun siz parametrikdan aniq tayinlashga o'tishingiz kerak. Buning uchun y = ps (t) = ps (D (x)) ko'rinishdagi kompleks funktsiyani olish kerak, bu erda x argumenti mavjud.
Murakkab funksiyaning hosilasini topish qoidasiga asoslanib, y "x = ps D (x) = ps" D x · D "x ekanligini olamiz.
Bu shuni ko'rsatadiki, t = D (x) va x = ph (t) teskari funktsiya formulasidan teskari funksiyalar D "(x) = 1 ph" (t), keyin y "x = ps" D (x) bo'ladi. · D "(x) = ps" (t) ph "(t).
Differensiatsiya qoidasiga ko'ra hosilalar jadvalidan foydalangan holda bir nechta misollarning yechimini ko'rib chiqishga o'tamiz.
1-misol
x = t 2 + 1 y = t funksiyaning hosilasini toping.
Yechim
Gipotezaga ko'ra, bizda ph (t) = t 2 + 1, ps (t) = t bor, shuning uchun biz ph "(t) = t 2 + 1", ps "(t) = t" = 1 ni olamiz. Olingan formuladan foydalanish va javobni quyidagi shaklda yozish kerak:
y "x = ps" (t) ph "(t) = 1 2 t
Javob: y x "= 1 2 t x = t 2 + 1.
h funktsiyasining hosilasi bilan ishlaganda, t parametri hosila qiymatlari va parametrik ko'rsatilgan funktsiya o'rtasidagi bog'liqlikni yo'qotmaslik uchun x argumentining bir xil t parametri orqali ifodasini belgilaydi. qaysi qiymatlar mos keladi.
Parametrli berilgan funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasini aniqlash uchun hosil boʻlgan funksiya boʻyicha birinchi tartibli hosila formulasidan foydalanish kerak, shundan keyin biz shuni olamiz.
y "" x = ps "(t) ph" (t) "ph" (t) = ps "" (t) ph "(t) - ps" (t) ph "" (t) ph "( t) 2 ph "(t) = ps" "(t) ph" (t) - ps "(t) ph" "(t) ph" (t) 3.
2-misol
Berilgan x = cos (2 t) y = t 2 funksiyaning 2 va 2-tartibli hosilalarini toping.
Yechim
Gipoteza orqali biz ph (t) = cos (2 t), ps (t) = t 2 ekanligini olamiz.
Keyin transformatsiyadan keyin
ph "(t) = cos (2 t)" = - sin (2 t) 2 t "= - 2 sin (2 t) ps (t) = t 2" = 2 t
Bundan kelib chiqadiki, y x "= ps" (t) ph "(t) = 2 t - 2 sin 2 t = - t sin (2 t).
1-tartibli hosilaning shakli x = cos (2 t) y x "= - t sin (2 t) ekanligini olamiz.
Uni yechish uchun ikkinchi tartibli hosila formulasini qo‘llash kerak. Biz shaklning ifodasini olamiz
yx "" = - t sin (2 t) ph "t = - t" sin (2 t) - t (sin (2 t)) "sin 2 (2 t) - 2 sin (2 t) = = 1 gunoh (2 t) - t cos (2 t) (2 t) "2 sin 3 (2 t) = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)
Keyin parametrik funksiya yordamida ikkinchi tartibli hosilaning
spetsifikatsiyasi
x = cos (2 t) y x "" = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)
Shunga o'xshash yechim boshqa usul bilan hal qilinishi mumkin. Keyin
ph "t = (cos (2 t))" = - sin (2 t) 2 t "= - 2 sin (2 t) ⇒ ph" "t = - 2 sin (2 t)" = - 2 sin (2) t) "= - 2 cos (2 t) · (2 ​​t)" = - 4 cos (2 t) ps "(t) = (t 2)" = 2 t ⇒ ps "" (t) = ( 2 t) "= 2
Shuning uchun biz buni olamiz
y "" x = ps "" (t) ph "(t) - ps" (t) ph "" (t) ph "(t) 3 = 2 · - 2 sin (2 t) - 2 t · (- 4 cos (2 t)) - 2 sin 2 t 3 = = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)
Javob: y "" x = sin (2 t) - 2 t · cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)
Parametrli belgilangan funktsiyalarga ega yuqori tartibli hosilalarni topish xuddi shunday tarzda amalga oshiriladi.
Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni tanlang va Ctrl + Enter ni bosing
Shu paytgacha ushbu chiziqlar nuqtalarining joriy koordinatalarini bevosita bog'laydigan tekislikdagi chiziqlar tenglamalari ko'rib chiqildi. Biroq, ko'pincha chiziqni aniqlashning boshqa usuli qo'llaniladi, bunda joriy koordinatalar uchinchi o'zgaruvchining funktsiyalari sifatida ko'rib chiqiladi.