1. Parametrik ko’rinishda berilgan funksiya grafigi va misollar

3. Tenglamasi qutb kordinatalar sistemasida berilgan funksiyaning grafigini chizish.
Qutb koordinatalar sistemasi haqida tushuncha. 1 tekislikdagi nuqtalaming o‘rni to‘g‘ri chiziqni o‘tkazamiz va bu to‘g‘ri chiziqda musbat yo'nalishni belgilaymiz (15.1- chizma). О nuqtani qutb. Ox o'qini esa qutb о ‘qi deb ataymiz. Endi ma‘lum masshtab birligi olib, tekislikdagi ixtiyoriy M nuqtaning o‘rnini О qutbga va Ox qutb o'qiga nisbatan aniqlaymiz. Buning uchun M nuqta bilan О qutbni tutashtiramiz. Natijada qutbdan M nuqtagacha bo‘lgan \OM\ masofa va qutb o'qi bilan OM yo‘nalgan kesma orasida Z xOM - tp burchak hosil bo'ladi. Bunda P = OM shu M nuqtaning qutb radiusi, ishorasi bilan ±2кк > Z qo‘shiluvchi aniqligida qaraymiz. p va Ф ni M nuqtaning qutb koordinatalari deb ataymiz va M(р;ф) shaklda yozamiz. M nuqta qutb burchagining —тг<ф0 va — я<фAgar M nuqtaning qutb koordinatalari maium bo’lsa (15.1- chizma), u holda uning Dekart koordinatalari л-=рсо5ф, у=р5!пф formulalar orqali ifodalanadi . Agar M nuqtaning Dekart koordinatalari x va у berilgan bo'lsa, u holda uning qutb koordinatalari: у X2 + у 1 , COS ф = yjx2+y2 , Ф = arctg formulalar orqali topiladi.
Ba‘zi bir masalalarni yechishda qutbdan o'tuvchi bitta to‘g‘ri chiziqda О nuqtaning turli tomonida joylashgan ikkita M va N nuqtalarni qarashga to‘g'ri keladi. Bu holda M \a N nuqtalarning qutb burchagi sifatida OE kesmadan OM nurgacha


bo‘lgan burchakni olish mumkin. Bunda p ni M nuqta uchun musbat, N nuqta uchun esa manfiy deb hisoblanadi. Qutb koordinatalar sistemasida berilgan funksiyaning umumiy ko'rinishi p =/(
р;ф) = 0 shaklida bo'ladi. р=/(ф) funksiyani qutb koordinatalar sistemasida tekshirsak, Dekart koordinatalar sistemasida у = f (x) ga taqqoslash yo‘li bilan ham amalga oshirish mumkin, bunda p niyga, ф ni esa x ga almashtiriladi. Р=/(ф ) funksiyani tekshirish sxemasi у = / (x) funksiyani tekshirish sxemasi kabi tekshiriladi. y = /(x ) funksiyaning aniqlanish sohasi [a,b] endi p—/(ф ) funksiyaning aniqlanish sohasi a < ф< |3 ga mos bo'ladi. y=f(x) funksiyaning x,, x2, ... maxsus nuqtalari р=/(ф) funksiyaning ф,=х,, ф2=х2, ... maxsus nuqtalariga mos keladi.1) У =f (x) juft funksiya bo‘lsin . U holda/ (x)=/(—x) tenglikka asosan, y=f(x)) egri chiziqning A (x; y) va В (—x; y) nuqtalari Р=/(ф ) egri chiziqning ЛДф#) va ^(я-ф;р) nuqtalariga mos keladi. y= /(x) egri chiziqning A (x;—y) va B (—x —y) nuqtalari Р=/(ф ) egri chiziqning At(р:2к-(р) va 2?,(р;л+ф) nuqtalariga mos keladi (15.3- chizma). 2) У =/ W toq funksiya bo‘lsin. U holda Dekart koordinatalar sistemasining koordinatalar boshiga nisbatan simmetrik bo'lgan A (x; y) va В (—x. —y) nuqtalari qutb koordinatlar sistemasining qutbiga nisbatan simmetrik bo'lgan At(ф;р) va 5,(р;я+ф) nuqtalarga mos keladi (15.4- chizma), Dekart koordinatalar sistemasidagi A (—x; — y) va В (x;—y) nuqtalar esa qutb koordinatalar sistema-


3) agar y= /(x) egri chiziq x>0 bo'lganda abssissalar o'qiga nisbatan simmetrik bo'lsa, Dekart koordinatalar sistemasidagi A(x,y) va B(x,—y) nuqtalarga qutb koordinatalar sistemasidagi Л(р;ф) va i?,(p;27i-
agar y = /(x ) funksiya davriy bo'lsa, р=/(ф) funksiya ham davriy bo'ladi va ularning davrlari o'zaro teng. Agar y —f(x ) chegaralangan (m < f(x)< M ) bo'lsa, uning grafigi y=m va y=M to'g'ri chiziqlar orasida bo'ladi. Unga mos р=/(ф) funksiya uchun ham m

Agar y=f(x ) funksiya x =x0 nuqtada ekstremumga ega boisa, Р=/(ф) funksiya ф=ф0 da ekstremumga ega bo‘ladi. Agar f(x ) funksiya biror oraliqda kamayuvchi bo‘lsa, qutb koordinatalar sistemasida p = / (ф) funksiya uchun qutb radiusining qiymati: soat strelkasi bo‘yicha harakat qilganda kamayadi, soat strelkasiga teskari harakat qilganda esa uning qiymati ortadi. у = f (x) funksiyaning Dekart koordinatalar sistemasidagi у = с gorizontal asimptotasi qutb koordinata sistemasida p —c radiusli asimptotik aylana bo‘lib ko‘chadi. Xususiy holda с =0 bo‘lsa, aylana nuqtaga aylanadi. y=/(x) chiziqning Dekart koordinatalar sistemasidagi x=b vertikal asimptotasi qutb koordinatalar sistemasiga ф=b nur bo‘lib ko‘chadi. Xususiy holda b= 0 bo'lsa, x = 0 asimptota qutb koordinatalar sistemasiga qutb o‘qi bo‘lib o'tadi.Agar b = + Ink (k — biror butun son) bo‘lsa, x =b asimptota Ф = | + 2nk vertikal nur bo‘lib o‘tadi.

Agar у = /(x) chiziq Dekart koordinatalar sistemasida у =ax + b asimptotaga ega bo‘lsa, bu og‘ma asimptota qutb koordinatalar sistemasiga p =aq> + b Arximed spirali bo‘lib o'tadi. Xususiy holda у —f (x) egri chiziqning у =ax asimptotasi p =д<р Arximed spirali bo‘lib o‘tadi.1- misol. ^ [ ^ ’ 6 nuqtani yasang. Yechilishi. TekisliKda О qutbni belgilab undan Ox qutb o'qini o‘tkazamiz. Qxo‘qini musbat yo‘nalishda ^ burchakka buramiz va D unda musbat yo'nalishda 2 birlik kesma ajratamiz, natijada OM kesma hosil bo‘ladi. Bu kesmaning A/uchi izlanayotgan nuqta bo'ladi.2-misol. ^4^—3 ;jj nuqtani yasalng. Yechilishi. Ox qutb o‘qini o‘tkazib, uni j burchakka buiamiz va shu bilan OM musbat yo‘nalishni aniqlaymiz. Endi p=—3 bo‘lgani uchun OM ning teskari yo‘nalishdagi davomida |—3|=3 birlik masshtabni olamiz, bu kesmaning uchi izlanayotgan nuqtani beradi.
Qutb koordinatalar sistemasida funksiyalarning grafiklarini chizish. р=/(ф) funksiyaning grafigini chizish quyidagicha bajariladi: a) р = /(ф) funksiyaning grafigini chizish uchun unga mos kelgan У ~ f (*) funksiya quriladi; b) р=/(ф) funksiyani tekshirish qoidasi, xuddi y —f{ x ) funksiyani tekshirishdek bo‘ladi (6-, 7-§ larga q.); d) p = /(ф) funksiyaning grafigini chizish у = / (x) funksiyaning grafigi bo'yicha bajariladi.1-misol. р=аф (а>0) funksiya grafigini chizing. Yechilishi. Qutb koordinatalar sistemasida ba‘zan funksiyalarning grafiklari nuqtalar bo'yicha chiziladi.
ф>0 qiymatlar uchun jadval tuzamiz:

Koordinatalar tekisligida yuqorida topilgan nuqtalarning o‘rinlarini topib, ularni chiziqlar bilan birlashtirish natijasida ф>0 bo‘lganda funksiyaning grafigi hosil bo'ladi (15.10- chizma). 2-misol. p=aekv (a va к — o'zgarmas musbat sonlar) funksiyaning grafigini chizing. Yechilishi. Bu tenglama bilan berilgan chiziq logarifmik spiral deyiladi. Uni chizish uchun ф burchakka ixtiyoriy qiymatlar berib, bu qiymatlami berilgan tenglamaga qo‘yamiz va undan


Agar <р = я,— 2 , — 4 >0,4 , тс, 2 ,27Г,... qiymatlarni qabul qilib o‘sib borsa, tenglamadan aniqlangan p ning qiymatlari quyidagicha bo'ladi:





5°. p = /((p)+Z> funksiyaning grafigi p = /(cp) funksiyaning grafigini qutb o‘qi bo‘ylab b masshtab birligiga parallel ko'chirish natijasida hosil qilinadi. Misol. p = 2+3cos((p+l) funksiyaning grafigini chizing. Yechilishi. Awalo, p=cos9 funksiyaning grafigini chizamiz (15.13- chizmaga qarang), so‘ngra yuqoridagi 3°—5° - bandlarga asosan, p=cos((p+l) (15.14- chizma), p=3cos((p+l) (15.15- chizma), p =2+3cos(cp+l) funksiyalarning grafiklarini ketma-ket chizish natijasida berilgan funksiyaning grafigini hosil qilamiz.
Xulosa
Men ushbu kurs ishini tayyorlash jarayonida dastlab shu mavzuga oid adabiyotlar, manbalar tayyorladim. Funksiya hosilasini o’qitish texnologiyasi mavzusiga doir ma`lumotlar bilan tanishib chiqdim, oldin bilmagan mavzuga doir ma’lumotlarni o`rgandim va bilimlarimni mustahkamladim. Tayyorlagan kurs ishim kirish, asosiy qism, xulosa va foydalanilgan adabiyotlardan tashkil topgan.
Kirish qismida matematika faniga bo‘lgan qiziqishlarini oshirishda, matematik tafakkurlarini o‘stirishda hosila tadbiqlari mavzusi katta ahamiyat kasb etgan. Uni o‘rganish, u haqida bilimga ega bo‘lish, tasavvur qila olish, uni mohiyat jihatidan tushunish va amalda qo‘llay olish katta ahamiyatga ega va shu bilan birga, xususiyatlarini o‘rganish va metodikasini ishlab chiqish va uni berish usullarini ko‘rsatib berish zaruriy talablardan biri hisoblanadi. Ayni shu ahamiyat va zarurat tayyorlangan kursishini dolzarbligini belgilaydi.
Kurs ishini tayyorlashda ta’lim bosqichlari orasidagi izchillikka va ta’limning kasbiy yo‘nalganlik tamoyillariga asoslanildi. Shuningdek, qo‘llanmani tayyorlashda shu paytgacha o‘zbek tilida mavjud bo‘lgan darslik va o‘quv qo‘llanmalardan ijodiy foydalanildi. Foydalanilgan adabiyotlardagi terminlar, tushunchalar va belgilashlarni saqlab qolishga harakat qilindi.
Kurs ishida ko‘p misollar yechib ko‘rsatilgan, grafiklar keltirilgan bo‘lib, ular nazariy materiallarni o‘zlashtirishga, chuqurroq tushunishga yordam beradi. Grafiklarni chizish va ba’zi taqribiy hisoblashlarda MAPLE dasturidan foydalanildi.