1-таъриф. Агар F(x) функц

1-мисол.
2-мисол.
3-мисол.





Энг содда рационал касрлар ва уларни интеграллаш

Бутун ва каср рационал функциялар умуман рационал функциялар деб аталади.

Бутун рационал функцияларни интеграллаш интегралнинг асосий хоссаларига кўра бажарилади.

Агар (2) каср рационал функция берилган бўлиб nАгар каср нотўцри бўлса, суратини маҳражига бўлиб, берилган касрни бирор бутун рационал функция билан бирор тўцри касрнинг йициндиси кўринишда ифодалаш мумкин, яъни
, бу ерда M(x) - бутун рационал функция, - тўцри каср чунки kКўпҳадларни интеграллаш ҳеч қандай қийинчилик туцдирмайди, шунинг учун биз асосан тўцри рационал касрларни интеграллаш билан шуцулланамиз.
Таъриф. Қуйидаги тўцри рационал касрларга энг содда рационал касрлар дейилади:
I. ; II. )
III.
IV.
Буерда A,B,a,p,q лар ҳақиқий сонлар. квадрат учҳад ҳақиқий илдизга эга эмас, яъни D<0 деб қаралади.
Энди юқоридаги тўртта энг содда рационал касрларни интеграллашни кўрайлик.
I.
II.
III.
Охирги тенгликнинг ўнг томонидаги биринчи интеграл га тенглиги равшан, чунки сурати маҳражининг ҳосиласига тенг.
Иккинчи интегралда эса, қуйидаги алмаштиришлар бажарамиз.

Баъзи иррационал ва тригонометрик
функцияларни интеграллаш

Биз ҳар қандай рационал функциялардан олинган интегралларни элементар функциялар орқали ифодалашни кўрдик.

Лекин ҳар қандай иррационал функциялардан олинган интегралларни элементар функциялар орқали ифодалаш мумкин бўлавермайди. Шунинг учун бундай ҳолларда иррационал функциялардан олинган интегрални ўзгарувчиларни алмаштириш ёрдамида рационал функциялардан олинган интегралларга келтирилади.
1. кўринишдаги интегрални кўрайлик.m,n,...,r,s лар натурал сонлар бўлиб, R эса ўз аргументларининг рационал функцияси.
Агар касрларнинг умумий маҳражини k деб ,x=t^k,dx=kt^k-1 алмаштириш бажарсак ҳар бир каср даражали x,бутун даражали t билан ифодаланади. Демак интеграл остидаги функция t нинг рационал функцияси бўлади. Уни эса биз интеграллашни биламиз.
Мисол. ва ларнинг умумий маҳражи 6 бўлади. Шунинг учун
x=t⁶,dx=6t⁵dt
2. кўринишдаги интегралда ҳам касрларнинг умумий маҳражини k деб белгиласак

алмаштириш билан рационал функциянинг интегралига келтирилади.


Мисол.

3. 
   кўринишидаги интеграл қуйидаги икки ҳолда осонгина интегралланади.
   

а) суратидаги Ax+B маҳражидаги ax²+bx+c квадрат учҳаднинг ҳосиласи бўлса, ax²+bx+c=z десак