1-ta’rif. Agar F(x) funks

1-misol.
2-misol.
3-misol.





Eng sodda ratsional kasrlar va ularni integrallash

Butun va kasr ratsional funksiyalar umuman ratsional funksiyalar deb ataladi.

Butun ratsional funksiyalarni integrallash integralning asosiy xossalariga ko‘ra bajariladi.

Agar (2) kasr ratsional funksiya berilgan bo‘lib nAgar kasr noto‘sri bo‘lsa, suratini mahrajiga bo‘lib, berilgan kasrni biror butun ratsional funksiya bilan biror to‘sri kasrning yitsindisi ko‘rinishda ifodalash mumkin, ya’ni
, bu yerda M(x) - butun ratsional funksiya, - to‘sri kasr chunki kKo‘phadlarni integrallash hech qanday qiyinchilik tusdirmaydi, shuning uchun biz asosan to‘sri ratsional kasrlarni integrallash bilan shusullanamiz.
Ta’rif. Quyidagi to‘sri ratsional kasrlarga eng sodda ratsional kasrlar deyiladi:
I. ; II. )
III.
IV.
Buerda A,B,a,p,q lar haqiqiy sonlar. kvadrat uchhad haqiqiy ildizga ega emas, ya’ni D<0 deb qaraladi.
Endi yuqoridagi to‘rtta eng sodda ratsional kasrlarni integrallashni ko‘raylik.
I.
II.
III.
Oxirgi tenglikning o‘ng tomonidagi birinchi integral ga tengligi ravshan, chunki surati mahrajining hosilasiga teng.
Ikkinchi integralda esa, quyidagi almashtirishlar bajaramiz.

Ba’zi irratsional va trigonometrik
funksiyalarni integrallash

Biz har qanday ratsional funksiyalardan olingan integrallarni elementar funksiyalar orqali ifodalashni ko‘rdik.

Lekin har qanday irratsional funksiyalardan olingan integrallarni elementar funksiyalar orqali ifodalash mumkin bo‘lavermaydi. Shuning uchun bunday hollarda irratsional funksiyalardan olingan integralni o‘zgaruvchilarni almashtirish yordamida ratsional funksiyalardan olingan integrallarga keltiriladi.
1. ko‘rinishdagi integralni ko‘raylik.m,n,...,r,s lar natural sonlar bo‘lib, R esa o‘z argumentlarining ratsional funksiyasi.
Agar kasrlarning umumiy mahrajini k deb ,x=t^k,dx=kt^k-1 almashtirish bajarsak har bir kasr darajali x,butun darajali t bilan ifodalanadi. Demak integral ostidagi funksiya t ning ratsional funksiyasi bo‘ladi. Uni esa biz integrallashni bilamiz.
Misol. va larning umumiy mahraji 6 bo‘ladi. Shuning uchun
x=t⁶,dx=6t⁵dt
2. ko‘rinishdagi integralda ham kasrlarning umumiy mahrajini k deb belgilasak

almashtirish bilan ratsional funksiyaning integraliga keltiriladi.


Misol.

3. 
   ko‘rinishidagi integral quyidagi ikki holda osongina integrallanadi.
   

a) suratidagi Ax+B mahrajidagi ax²+bx+c kvadrat uchhadning hosilasi bo‘lsa, ax²+bx+c=z desak