1 тпс её составные части. История развития

30) Энергетические спектры сигналов
Рассмотрим частотный аспект и найдем связь между скалярным произведением сигналов и их спектральными плотностями. Пусть имеются два сигнала u(t) и V(t). Их скалярное произведение (u,v)= пропорционально взаимной энергии сигналов и , если сигналы совпадают, т.е. u(t) = v(t), то скалярное произведение переходит в энергию сигнала:
. Каждому из сигналов u(t) и v(t) соответствуют спектральные плотности которые связаны с сигналами обратным преобразованием Фурье

Заменим в скалярном произведении один из сигналов его спектральным представлением а затем сменим порядок интегрирования по времени и частоте: Внутренний интеграл есть не что иное, как спектральная плотность сигнала u(t) при отрицательном значении аргумента (т.е. частоты): Следовательно . (1) Эта запись называется обобщенной формулой Рэлея.

Скалярное произведение двух сигналов пропорционально скалярному произведению их спектральных плотностей.( ! )
Если u(t) = v(t), то из (1) получим так называемое равенство Парсеваля:
(2)
Равенство Парсеваля устанавливает связь между энергией сигнала и модулем его спектральной плотности. Величина имеет смысл плотности распределения энергии по оси частот и называется энергетическим спектром сигнала или спектральной плотностью энергии сигнала.
(3)
т.е. энергия сигнала может быть представлена как результат суммирования вкладов в энергию от различных участков на частотной оси.
Аналогично определяется и взаимный энергетический спектр сигналов u(t) и v(t): (u,v)= (4)
Вид кривой взаимного энергетического сигнала спектра W_u,v(ω) показывает, какую роль в формировании взаимной энергии сигналов (их взаимного влияния) играют различные участки их спектра. При изучении сигналов с помощью энергетических спектров неизбежно теряется информация, которая заключена в фазовых спектрах, тем не менее понятие энергетического спектра весьма плодотворно с точки зрения установления реальной ширины спектра тех или иных сигналов.
Рассмотрим распределение энергии в спектре одиночного прямоугольного видеоимпульса. Аналитическое выражение для энергетического спектра можно получить, возводя в квадрат выражение для спектральной плотности прямоугольного видеоимпульса
(5)

Полная энергия такого видеоимпульса равна где U- амплитуда импульса, τ_u - длительность.

Рисунок
Для определения доли энергии в пределах 1-го, 2-го, 3-го лепестков спектра надо проинтегрировать (5) в соответствующих пределах. Доля энергии в 1-ом лепестке

Сделаем замену переменных тогда . Имеется табличный интеграл однако в пределах от 0 до π этот интеграл не затабулирован. Численные расчеты показывают, что в пределах 1-го лепестка содержится 0,902 энергии сигнала, во 2-ом - 0,048, в 3-ьем - 0,023. Таким образом, 2-х краткое расширение полосы пропускания приемника увеличит энергию сигнала всего на 4,8%, в то время. как помеха, если она имеет равномерный спектр, увеличит свою энергию на 100 %. На практике принято за активную ширину спектра сигнала ΔF принимать диапазон частот, внутри которого сосредоточено 90 - 95% энергии сигнала. Для прямоугольного видеоимпульса это один-два первых лепестка.


31)Корреляционные характеристики детерминированных сигналов
Выявление соответствия между эталонным (опорным) сигналом и подобными ему сигналами, расположенными произвольно на оси времени, весьма актуально для передачи сигналов. Это два типа задач 1) обнаружение сигнала в помехах или без них, 2) измерение параметров обнаруженного сигнала (времени прихода, частоты, фазы и т.п.), которые несут информацию, но тоже могут быть поражены помехами.
а) функция автокорреляции сигнала (Баскаков, с.86)
Для количественного определения степени отличия сигнала s(t) и его сдвинутой копии s(t-τ) принято вводить функцию автокорреляции К_s (τ), равную скалярному произведению этих двух сигналов Выражение (1) справедливо, если сигнал имеет локализованный во времени импульсный (финитный) характер, т.е. обладает конечной энергией, в противном случае - ал сходиться не будет. Свойства автокорреляционной функции: 1) при τ = 0 сходство сигнала с его несдвинутой копией достигает наибольшего значения и функция К₁₁ (0) достигает максимального значения, равного полной энергии сигнала E_s = W_s.
2) автокорреляционная функция является четной функцией временного сдвига:
Рассмотрим это свойство на примере нахождения АКФ прямоугольного видеоимпульса (рис.7.4., стр. 137 Паршин)
Рисунок
сдвиг на в сторону запаздывания
АКФ имеет размерность взаимной энергии сигналов s₁(t) и s₁(t-τ). Длительность АКФ во времени в два раза превосходит длительность прямоугольного видеоимпульса. 3) абсолютное значение АКФ при любом τ не может превышать ее значения при τ = 0 : .
Докозательство этого неравенства вытекает непосредственно из неравенства Коши-Буняновского т.е. взаимная энергия сигналов не может превышать произведения их норм. 4) Если функция имеет бесконечную длительность Т₁ т.е. обладает бесконечно большой энергией, то АКФ рассчитывается как среднее значение скалярного произведения сигнала его копии, следовательно, АКФ определяется в единицах мощности Т→∞
Соответственно К₁₁(0) будет равна средней мощности сигнала .
При определении АКФ периодической функции усреднение выполняется по ее периоду. 5) АКФ периодического сигнала сама является периодической функцией с тем же периодом. Докажем это на примере гармонического сигнала


Второй интеграл равен 0, т.к. площадь под Cos2ω₀t за два периода будет равна 0.При τ=0 АКФ К₁₁(0) = определяет среднюю мощность гармонического колебания с амплитудой А₀. Из выражения (2) следует, что АКФ гармонического колебания не зависит от его начальной фазы. Это утверждение можно распространить и на другие периодические колебания.