1. Triganometrik funksiyalarni integrallash

Aniq integral taʼrifi(Riman yigʻindilari) 
 
Aniq integral va uning xossalari. Aniq integralni 
hisoblash usullari 
kesmada f(x) funksiya 
aniqlanganbo’lsin. 
kesmani 
nu
qtalar bilan n ta 
bo’lakka ajratamiz. Har 
bir 
 kesmadan 
ixtiyoriy nuqta olib
yig’indini tuzamiz. Bunda 

---

ko’rinishidagi yig’indi integral yig’indi deyiladi. 
Uning max 
dagi limiti mavjud va chekli 
bo’lsa, unga f(x) funksiyaning a dan b 
gacha aniq
integrali
deyiladi
va
u
 
ko’rinishida yoziladi. 

---

Bu holda f(x) funksiya 
kesmada 
integrallanuvchi deyiladi. f(x) funksiyaning 
integrallanuvchi bo’lishi uchun u 
kesmada 
uzluksiz bo’lishi yoki chekli sondagi uzilishlarga 
ega bo’lishi kifoyadir. 
Aniq integral quyidagi bir qator xossalarga ega:
1. 
; 
. 
,
agar
bo’lsa;
;
. 
Agar
 kesmada
va integrallanuvchi 
bo’lsa,
u
holda
tengsizlik
o’rinli
bo’ladi;
6. 
Agar 
kesmada va funksiyalar integra 
llanuvchi hamda 
bo’lsa, u 
holda 
ularning 
aniq 
integrallari uchun tengsizlik o’rinli bo’ladi.

---

Agar 
va f(x) funksiya 
kesmalarda 
integrallanuvchi 
bo’lsa, 
unda
kesmada 
ham
 
integrallanuvchi va tenglik o’rinli bo’ladi.
Agar
kesmada (a 
tengsizlik 
o’rinli 
bo’ladi;
Agar 
funksiya 
kesmada integrallanuvchi 
bo’lsa, u holda f(x) funksiya ham bu kesmada 
integrallanuvchi va quyidagi tengsizlik o’rinli 
bo’ladi: 
10. Agar f(x) funksiya 
kesmada uzluksiz bo’lsa, 
u holda bu kesmada shunday 
𝜉 nuqta mavjud 
bo’ladiki, unda 
tenglik
o’rinli
bo’ladi. 
Agar F(x) uzluksiz f(x) funksiyaning biror 
boshlang’ich funksiyasi bo’lsa, u holda 
 
tenglik o’rinli bo’ladi. Bu tenglik aniq integralni 
hisoblashning Nyuton-Leybnis formulasi deyiladi. 
,

---

Ba’zi aniq integrallarni hisoblashda bo’laklab 
integrallash formulasi deb ataluvchi 
formuladan
foydalaniladi. 
Berilgan uzluksiz 
funkisiyadan 
kesma 
bo’yicha olingan 
 
aniq integiralni ba’zi hollarda biror 
differensiallanuvchi funksiya orqali 
“eski” x o’zgaruvchidan “yangi” t o’zgaruchiga 
o’tish usulida foydalanib hisoblash mumkin bo’ladi. 
Bunda quyidagi shartlar qo’yiladi: 
1. 
(
2. (t) va 
funksiyalar t[
] kesmada uzluksiz: 
3. [ 
murakkab funksiya [ 
kesmada 
aniqlangan va uzluksiz. 
Bu shartlarda ushbu formula o’rinli bo’ladi: 
Bu formula aniq integralda
o’zgaruvchini 
almashtirish formulasi deyiladi 

---