1. Vaqtli qatorlar toʻgʻrisida umumiy tushunchalar. Multiplikativ va additiv modellarning tarkibiy tuzilishi. Vaqtli qatorlarni tekislash usullari

Oʻrtacha sirgʻaluvchi usul - bu qator darajalarini birin-ketin ma’lum tartibda surish yoʻli bilan hisoblangan oʻrtacha darajadir. Oʻrtacha sirgʻaluvchi usulda qator koʻrsatkichlaridan doimo teng sonda olib, ulardan oddiy arifmetik oʻrtacha hisoblash yoʻli bilan aniqlanadi. Ularni toq yoki juft sonda olinadigan qator koʻrsatkichlari asosida hisobalash mumkin.
Oʻrtacha sirgʻaluvchi usul oʻrtacha qiymatni aniqlash vaqtida tasodifiy chetlanishlarning oʻsish holatiga asoslanadi. Oʻrtacha faktik qiymatlar qatorlari dinamikasi tekislanayotgan vaqtda sirgʻanishning oʻrtacha nuqta davrini koʻrsatadigan oʻrtacha qiymatlar bilan almashinadi. Odatda oʻrtacha sirgʻanuvchi usulning ikki modifikatsiyasidan, ya’ni oddiy va vaznli tekislashdan foydalaniladi.
Oddiy tenglashtirish oʻrtalikdagi uzunlikdagi vaqt uchun oddiy oʻrta arifmetik hisoblashdan tuzilgan yangi qator tuzishga asoslanadi:
, (17)
bu erda, – tenglashtirish davri uzunligi vaqtli qatorlar xarakteriga bogʻliq boʻladi;
– oʻrtacha qiymatning tartib nomeri.
Vaznli tenglashtirish turli nuqtadagi qatorlar dinamikasi uchun vaznli oʻrtacha qiymatlarni oʻrtachalashtirishdan iborat.
Birinchi qatorlar dinamikasini olib koʻraylik ( odatda 1 yoki 2 ga teng). Tendensiyalar funksiyasi sifatida qandaydir:
(18)
(18) toʻla darajasini olaylik.
Uning parametrlari
(19)
tenglamasi yordamida eng kichik kvadratlar usuli bilan aniqlanadi.
Koʻphad (polinom) oʻrtacha darajasi nuqtasiga joylashgan. ga nisbatan tenglamani echsak:
(20)
hosil qilamiz. Bu erdagi qiymati va mohiyatiga bogʻliq boʻladi. Hosil boʻlgan tenglama (4) birinchilardan qatorlar dinamikasi qiymatining vaznli oʻrtacha qiymat arifmetikasi hisoblanadi.
Eksponensial usuli hozirgi paytda, dinamik qatorlarga asoslangan usullardan eng muhim usul deb hisoblanadi. Dinamik qatorlarni bashoratlashda ma’lumotlarni yildan yilga oʻzgartirishini e’tiborga olish zarur. Ohirgi yillardagi oʻzgarish tendensiyasini ahamiyatini oshirib, dinamik qatorni birinchi yillardagi oʻzgarish tendensiyasini ahamiyatini kamaytirish zarur.
Bashoratlashtirishning oddiy modellaridan biri boʻlgan vaqtli funksiyasini koʻrib oʻtamiz. Umumiy holda vaqt boʻyicha olingan funksiyasini
u_t = f (t) (21)
(22)
koʻrinishida ifodalash mumkin.
Ayrim hollarda vaqtli qator parametrlari ma’lum bir oraliqda oʻzgarishi mumkin.
Bu muammoni echish uchun Braun tomonidan yaratilgan eksponensial usulidan foydalanamiz. Bu usulni mohiyati shundan iboratki, vaqt boʻyicha olingan qator eksponensial qonuniyatiga boʻysunib bashorat qilinadi.
Faraz qilaylik:
(23)
koʻrinishidagi chiziqli funksiya berilgan boʻlsin. Bu erdagi a₀ va a₁ parametrlarni topish uchun oʻrtacha eksponensial va miqdorlarni topamiz.
(24)
(25)
Agar bu sistemani a₀ va a₁ ga nisbatan echsak, quyidagilarni xosil qilamiz:
(26)
(27)
K darajadagi eksponenta rekurent formulasi orqali topiladi.
(28)

Bu yerda  = 2 / m + 1
m -kuzatuvlar soni.
Umuman olganda 0  1 boʻladi.
Agar  parametr 1 ga yaqin boʻlsa, bashoratlashtirish uchun keyingi holatlar hisobga olinadi. Agar a 0 boʻlsa bashoratda ilgari holat nazarda tutiladi.