1. Vaqtli qatorlar toʻgʻrisida umumiy tushunchalar. Multiplikativ va additiv modellarning tarkibiy tuzilishi. Vaqtli qatorlarni tekislash usullari

Trendning mavjudligini tekshirish uchun mezonlar:
1) Bir qatorning ikki qismini oʻrtachalarini ayirmasi usuli. Oʻrtachalarni ayirmasini mavjudligi haqidagi gipoteza tekshiriladi: Buning uchun vaqtli qator ikki teng yoki deyarli teng qismlarga boʻlinadi. Gipotezaning tekshirish mezoni sifatida Styudent mezoni qabul qilinadi. Agarda t ≥ tα, boʻlsa, bunda t- Styudent mezonining hisoblangan qiymati; tα- mohiyatlilik darajasi α- da jadvaldagi qiymat, unda trendning mavjud emasligi haqidagi gipoteza inkor etiladi; agarda t < tα boʻlsau holda (N0) gipoteza qabul qilinadi
2) Foster – Styuart usuli. Hodisaning tendensiyasi va vaqtli qator darajalarining dispersiyasini trendini mavjudligi aniqlanadi. Koʻpincha bu usul vaqtli qatorni chuqur (detal nom) tahlil qilishda va uni boʻyicha prognozlarni tuzishda qoʻllaniladi.
C Hiziqli trendning eng soddasi boʻlib toʻgʻri chiziq hisoblanadi, va u chiziqli tenglama trendi bilan ifodalanadi

bunda ŷi – i-nomerli yil uchun trendning tekislangan (nazariy) darajalari

ti –vaqtli qatorning darajalari tegishli boʻlgan momentlar yoki vaqt davrlari nomerlari;
ai,- trend parametrlari.
3. Vaqtli qatorlarni tekislash usullari.

Iqtisodiy qatorlar dinamikasi tendensiyasini aniqlash vaqtida koʻpchilik hollarda turli darajadagi polinomlar:

va eksponensional funksiyalar qoʻllaniladi:
(1)
SHuni qayd ‘etib oʻtish lozimki, funksiya shakli tenglashtirilayotgan qatorlar dinamikasi xarakteriga muvofiq, shuningdek, mantiqiy asoslangan boʻlishi lozim.
Polinomning eng yuqori darajalaridan foydalanish koʻpchilik hollarda oʻrtacha kvadrat xatolarining kamayishiga olib keladi. Lekin bunday vaqtlarda tenglashtirish bajarilmay qoladi.
Tenglashtirish parametrlari bevosita eng kichik kvadratlar usuli yordamida baholanadi. Eksponensional funksiya parametrlarini baholash uchun esa boshlangʻich qatorlar qiymatini logarifmlash lozim.
Normal tenglamalar sistemasi quyidagicha boʻladi:
a) tartibli polinom uchun:
(2)
b)eksponensional funksiya uchun:
(3)
Agar tendensiya koʻrsatkichli funksiyaga ega boʻlsa, ya’ni

boʻlsa, ushbu funksiyani logarifmlab, parametrlarini eng kichik kvadratlar usuli yordamida aniqlash mumkin. Ushbu funksiya uchun normal tenglamalar sistemasi quyidagi koʻrinishga ega boʻladi:
(4)
Koʻpincha boshlangʻich ma’lumotlar asosida qatorlar dinamikasining rivojlantirish tendensiyasini tavsiya etish uchun eng qulay funksiya qaysi biri ekanligini hal qilish masalasi murakkab boʻladi. Bunday hollarda funksiya shakllarini aniqlashning quyidagi ikki xil usulidan foydalanish mumkin: oʻrta kvadratik xatolar minimumi usuli bilan funksiya tanlash; dispersion tahlil usulini qoʻllash orqali funksiya tanlash.
1. Mantiqiy tahlil hamda tadqiqot tufayli qoʻlga kiritilgan shaxsiy tajriba asosida qator turli xil funksiyalar tanlab olinadi va ularning parametrlari baholanadi. SHundan soʻng har bir funksiya uchun quyidagi formula asosida oʻrta kvadratik xatolar aniqlanadi:
, (5)
bu erda: – qatorlar dinamikasining qiymati;
– qatorlar dinamikasi qiymatlarini tenglashtirish;
– funksiya parametrlari soni.
Mazkur usul faqat tenglama parametrlarining teng sonida natijalar beradi.
Ikkinchi usul dispersiyalarni taqqoslashdan iborat. Oʻrganilayotgan qatorlar dinamikasi umumiy variatsiyasini ikki qismga, ya’ni tendensiyalar tufayli sodir boʻladigan variatsiyalar va tasodifiy variatsiyalar yoki boʻlishi mumkin.
Umumiy variatsiya quyidagi formula boʻyicha aniqlanadi:
, (6)
bu erda, - qatorlar dinamikasining oʻrtacha darajasi.
Tasodifiy variatsiyalar quyidagi formula orqali aniqlanadi:
. (7)
Umumiy va tasodifiy variatsiyalarning farqi tendensiyalar variatsiyasi hisoblanadi:
. (8)
Tegishli dispersiyalarni aniqlashda daraja erkinligi quyidagicha boʻladi:
1. Tendensiyalar tufayli dispersiyalar uchun daraja erkinligi soni tekislash tenglamasi parametrlari sonidan bitta kam boʻladi.
2. Katorlar dinamikasi darajasi soni bilan tekislash tenglamasi parametrlari soni oʻrtasidagi farq tasodifiy tendensiyalar uchun daraja erkinligi soniga teng boʻladi.
3. Umumiy dispersiyalar uchun daraja erkinligi soni qatorlar dinamikasi darajasi sonidan bitta kam boʻladi. CHiziqli funksiya uchun dispersiyalar quyidagicha hisoblanadi:
, (9)
, (10)
. (11)
Dispersiyalar aniqlangandan soʻng - mezonning empirik qiymati hisoblanadi:
. (12)
Olingan qiymatni erkinlik va ehtimollik darajasiga muvofiq aniqlangan jadval qiymati bilan taqqoslanadi.
Agar koʻrinishidagi tengsizlik bajarilsa, u holda tahlil qilinayotgan tenglama ifodalanayotgan tendensiya uchun toʻgʻri keladi. Bunday hollarda tahlil qilishni mantiqiy tushunchalarga mos keladigan oddiy tenglamalardan boshlab, asta-sekin kerakli daraja aniqlanguncha qadar murakkabroq darajalarga oʻtib borish lozim.
Trend aniqlangandan keyin boshlangʻich qatorlar dinamikasiga tegishli darajada trendning qiymati olinadi. Tahlil bundan keyin trenddan chetga chiqishi mumkin.
(13)
chetga chiqishi arifmetik dispersiyali oʻrtacha nolga teng boʻladi.
Tenglama parametrlarini aniqlash zarur:
, (14)
. (15)
Normal tenglamalar sistemasi toʻgʻri chiziqli tenglamalar uchun quyidagi koʻrinishga ega boʻladi:
(16)

Dinamika tendensiyasini aniqlashning eng sodda usuli qator darajalari davrini uzaytirishusulidir. Bu usulda ketma-ket joylashgan qator darajalari teng sonda olib qoʻshiladi, natijada uzunroq davrlarga tegishli darajalardan tuzilgan yangi ixchamlashgan qator hosil boʻladi.