10. Fazoda ketma-ketlik va uning limiti tushunchalari

1-misol. fazoda ushbu

ketma-ketlikning limiti bo’lishi ko’rsatilsin.

◄ sonini olib, unga ko’ra ni topamiz.

Unda uchun

bo’ladi. Demak,

.►

2.2. KETMA-KETLIK LIMITINING MAVJUDLIGI

2⁰. Ketma-ketlik limitining mavjudligi. Faraz qilay-lik, fazoda ketma-ketlik va nuqta берилган бo’лсин.

1-tearema. Agar fazoda

ketma-ketlik

limitga ega bo’lsa;

,

u holda

bo’ladi.

◄ Aytaylik

bo’lsin.

Limit ta’rifiga binoan uchun

bo’ladi. Ravshanki,

bunda

Keyingi munosabatlardan , uchun

yani

bo’lishini topamiz. Bundan esa

bo’lishi kelib chiqadi.►

2-tearema. Agar fazodagi

ketma-ketlik va nuqta uchun

bo’lsa, u holda ketma-ketlik limitiga ega bo’lib,

bo’ladi.

◄ Tearemaning sharti hamda limit ta’rifidan foyda-lanib topamiz: bo’ladi.

bo’ladi.

........................................................................................

bo’ladi.

Agar

deyilsa, unda da bir yo’la

tengsizliklar bajariladi. U holda

yani,

bo’ladi. Demak

.►

Bu tearemalardan quyidagi tasdiq kelib chiqadi.

fazoda

ketma-ketlik limitga,

ega bo’lishi uchunbir yo’la

bo’lishi zarur va etarli.

Bu muhim tasdiq bo’lib, u fazodagi ketma-ketliklar limitlarini o’rganishni sonlar ketma-ketliklar limitlari-ni o’rganishga olib keladi. Sonlar ketma-ketliklarning limiti esa 6-8-ma’ruzalarda batafsil bayon etilgan.

Agar (1) ketma-ketlik limitga ega bo’lsa, u yaqinlashuvchi ketma-ketlik deyiladi.

Yuqoridagi keltirilgan tasdiqdan foydalanib isbotlanadigan muhim tearemani keltiramiz. Avvalo fazoda ketma-ketlikning fundamentalligini ta’riflaymiz.

3-ta’rif. fazoda ketma-ketlik berilgan bo’lsin . Agar olinganda ham, shunday topilsaki, , lar uchun

tengsizlik bajarilsa, fundamental ketma-ketlik deyiladi.