10. Интегралнинг чизиқлилик ҳамда аддитивлик хоссалари

4⁰. Бўлаклаб интеграллаш формуласи. Айтайлик , ва функцияларнинг ҳар бири сегментда узлуксиз ва ҳосилаларга эга булсин. У ҳолда
(5)
бўлади.
◄ Ҳосилани ҳисоблаш қоидасига кўра

бўлади. Демак, функция оралиқда функциянинг бошланғич функцияси бўлади. Ньютон-Лейбниц формуласидан фойдаланиб топамиз:
.
Кейинги тенгликдан

бўлиши келиб чиқади. ►
(5) формула аниқ интегралларда бўлаклаб интеграллаш формуласи дейилади.
3-мисол. Ушбу

интеграл ҳисоблансин.
◄ Бу интервалда деб бўлишини топамиз. Унда (5) формулага кўра:
бўлади. ►
4-мисол. Ушбу

интеграл ҳисоблансин.
◄ Равшанки,
, .
бўлганда берилган интегрални

кўринишида ёзиб, унга бўлаклаб интеграллаш формуласини қўллаймиз. Натижада

бўлиб, ундан ушбу

рекуррент формула келиб чикади.
Бу формула ёрдамида берилган интегрални бўлганда кетма-кет ҳисоблаш мумкин.
Айтайлик, - жуфт сон бўлсин. Унда

бўлади.
Айтайлик, - тоқ сон бўлсин. Унда

бўлади. символ дан катта бўлмаган ва у билан бир хил жуфтликка эга бўлган натурал сонларнинг кўпайтмасини билдиради.) ►
5⁰. Валлис формуласи. Маълумки, бўлганда

тенгсизликлар ўринли бўлади. Бу тенгсизликларни оралиқ бўйича интеграллаб,

сўнгра 4⁰ да келтирилган формулалардан фойдаланиб топамиз:

Бу тенгсизликлардан

бўлиши келиб чиқади.
Кейинги тенгсизликлардан топамиз:
. (6)
(6) формула Валлис формуласи дейилади.
Машқлар
1. Агар бўлса,

тенглик исботлансин.

2. Ушбу интеграл

ҳисоблансин.
3. Ушбу тенглик

исботлансин.